Phase 1 · 기초
기초
3.5 역삼각
3.6 쌍곡선
Phase 2 · 미분
2.6 음함수
2.8 선형근사
3.7 로피탈
4.6 뉴턴
Phase 3 · 적분
5.2 정적분
5.3 계산
5.4 기본정리
5.5 치환
Phase 4 · 응용
7.2 원판법
7.3 껍질법
6.6 이상적분
미적분학1 · 기초 통합
미적분학에서 반복적으로 등장하는 기본 함수는 세 가집니다. 지수함수 $e^x$, 로그함수 $\ln x$, 삼각함수. 이 단원에서는 고등학교 과정에서 다뤘던 내용 중 대학 미적분에 직접 필요한 부분만 정리합니다.
PART 1
먼저 알아야 할 친구들: e, ln, 삼각함수
$e$는 그냥 숫자 입니다. $\pi$가 3.14159..인 것처럼, $e$는 약 2.71828.. 인 무리수입니다. 소수점이 끝없이 이어지는 무리수입니다.
"왜 하필 이 숫자를 쓰냐?"라는 질문은 당연한데, 답은 간단합니다: $e^x$는 미분해도 자기 자신이 되는 유일한 함수 이기 때문입니다. 즉 $(e^x)' = e^x$. 이게 수학에서 계산을 엄청 깔끔하게 만들어 주므로 모든 곳에 $e$가 등장하는 것입니다.
지금 "$e$가 왜 2.718..인지" 깊이 이해할 필요는 없습니다. "미분하면 자기 자신 = $e^x$" 이것만 기억하면 됩니다.
$\ln x$는 자연로그 입니다. 뜻은: "$e$를 몇 제곱하면 $x$가 되는가?"
예를 들어 $\ln(e^3) = 3$입니다. "$e$를 3제곱하면 $e^3$이 되기 때문입니다." 그래서 $\ln$은 $e^x$의 역함수 입니다.
핵심 정리:
• $\ln 1 = 0$ → $e^0 = 1$입니다.
• $\ln e = 1$ → $e^1 = e$이므로.
• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ → 이것은 반드시 암기해야 합니다.
고등학교에서 $\log_{10}$을 배웠다면, $\ln$은 밑이 $e$인 로그와 같습니다.
$\sin$, $\cos$, $\tan$ — 고등학교 때 배운 것과 동일합니다. 직각삼각형에서 변의 비율입니다. 하지만 대학에서는 단위원(반지름 1인 원) 위의 좌표로 이해하는 것이 더 유리합니다.
• $\sin\theta$ = 단위원 위 점의 $y$좌표
• $\cos\theta$ = 단위원 위 점의 $x$좌표
• $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ = 기울기
나머지($\sec, \csc, \cot$)는 이 셋의 역수야:
• $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$, $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$, $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
지금 완벽히 이해할 필요는 없습니다. 미분 공식만 외우면 나머지 단원에서 쓸 수 있습니다.
$e$랑 $\ln$을 "완벽히 이해해야 다음 단원으로 갈 수 있습니다"는 생각이 가장 위험합니다. 지금은 "아, 이런 게 있구나" 수준이면 충분합니다. 쓰다 보면 자연스럽게 익숙해집니다.
$\lim_{x\to a}f(x)=L$이 뜻하는 건: "$x$가 $a$에 한없이 가까이 갈 때 $f(x)$는 $L$에 가까워집니다." 핵심: $f(a)$의 값과 극한값은 다를 수 있습니다. 극한은 "가는 과정"이며 "도착"이 아닙니다.
"카페에 가는 중"이라는 말은 실제로 카페에 도착했다는 뜻이 아니지 않은가. 극한도 마찬가지입니다. $x$가 $a$로 "가는 중"인 상태에서 $f(x)$가 어디를 향하는지를 보는 것입니다. 실제로 $a$에 도착했을 때의 값($f(a)$)과는 다를 수 있습니다.
자동차가 $t$초에서 $t+\Delta t$초까지 이동한 거리가 $\Delta s$면, 평균 속도는 $\frac{\Delta s}{\Delta t}$. 이제 $\Delta t$를 0에 가깝게 줄이면? 그게 순간 속도 입니다. 이것이 바로 미분입니다.
미분은 "이 순간 얼마나 빠르게 변하고 있냐?"를 숫자로 알려주는 도구입니다. 그래프에서 보면 어떤 점에서의 접선 기울기 가 곧 미분값입니다.
기울기 (할선) = —
f'(a) (접선) = —
오차 = —
아래 공식들은 "외워야 하냐?"가 아니라 "시험 중 0.5초 안에 나와야 합니다." 구구단처럼 자동반사로 써야 하는 것들입니다. 처음엔 어색하더라도 문제 몇 개만 풀면 자연스러워집니다.
외우는 팁: co-가 붙은 함수($\cos, \csc, \cot$)를 미분하면 항상 마이너스 가 붙어.
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1단계
각 항을 따로 미분
$(3x^4)' = 3 \cdot 4x^3 = 12x^3$
$(-2e^x)' = -2e^x$ ← $e^x$는 미분해도 그대로!
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
2단계
모두 더합니다
$f'(x) = 12x^3 - 2e^x + \frac{1}{x}$
$f(g(x))$는 안에 인형 $g(x)$, 겉에 인형 $f(\cdot)$가 있는 것입니다. 미분: 겉 미분 × 안 미분. 이것만 기억해야 합니다.
대학 미적분 시험 문제의 거의 절반은 합성함수가 들어 있습니다. $e^{\sin x}$, $\ln(x^2+1)$, $(3x+1)^7$ 같은 거. 연쇄법칙 없이는 이런 걸 하나도 풀 수 없습니다. 그래서 연쇄법칙이 그만큼 중요합니다.
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Step 1
겉 함수 미분 (안쪽은 그대로)
바깥 함수: $\sin(\cdot)$ → 미분하면 $\cos(\cdot)$
결과: $\cos(x^2)$
Step 2
안쪽 함수 미분
$g(x) = x^2$ → $g'(x) = 2x$
Step 3
둘 곱하기
$\cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$
원인: 안쪽 함수 미분을 빠뜨림
$(\sin(x^2))' = \cos(x^2) \cdot 2x$
판별법: 합성함수면 무조건 "겉미분×안미분". 절대 잊지 않아야 합니다.
1
$(2x+1)^5$를 미분하십시오.
H 힌트바깥: $(\cdot)^5$, 안: $2x+1$. 겉미분은 $5(\cdot)^4$, 안미분은 $2$.
A 정답$10(2x+1)^4$
2
$e^{3x^2}$를 미분하십시오.
H 힌트바깥: $e^{\cdot}$ (미분해도 $e^{\cdot}$), 안: $3x^2$ (미분하면 $6x$).
A 정답$6xe^{3x^2}$
3
$\ln(\cos x)$를 미분하십시오.
H 힌트바깥: $\ln(\cdot)$ (미분하면 $\frac{1}{\cdot}$), 안: $\cos x$ (미분하면 $-\sin x$).
A 정답$-\tan x$
PART 6
곱의 미분법 & 몫의 미분법
곱의 법칙: 두 함수가 곱해져 있을 때 ($x^2 \cdot e^x$ 같은 거). 그냥 각각 미분해서 곱하면 안 됩니다.
몫의 법칙: 하나가 다른 하나 위에 올라타 있을 때 ($\frac{\sin x}{x^2+1}$ 같은 거).
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Step 1
곱의 법칙 설정
$f = x^2,\; g = e^x$
$f' = 2x,\; g' = e^x$
Step 2
공식 적용
$(x^2 e^x)' = (2x) \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$
Step 3
$e^x$ 묶기
$= e^x(2x + x^2) = x(x+2)e^x$
1
$\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin x}{x^2+1}\right]$를 구하십시오.
H 힌트몫의 법칙: $\frac{f'g - fg'}{g^2}$. $f=\sin x$, $g=x^2+1$.
A 정답$\frac{\cos x(x^2+1) - 2x\sin x}{(x^2+1)^2}$
2
$y = e^{\sin(x^2)}$를 미분하십시오.
H 힌트3중 연쇄법칙. 바깥→안→더안: $e^{(\cdot)} \to \sin(\cdot) \to x^2$
A 정답$2x\cos(x^2)\cdot e^{\sin(x^2)}$
3
$f(x) = x^3 e^{2x}$에서 $f'(1)$을 구하십시오.
H 힌트곱의 법칙 + 연쇄법칙. $(x^3)'e^{2x} + x^3(e^{2x})'$
A 정답$f'(x) = 3x^2 e^{2x} + 2x^3 e^{2x} = x^2 e^{2x}(3+2x)$. $f'(1) = 5e^2$
미적분학1 · STEWART 2.6
$y$를 $x$에 대해 명시적으로 풀 수 없는 관계식에서도 미분은 가능합니다. 양변을 $x$에 대해 미분한 뒤 $\frac{dy}{dx}$를 정리하면 됩니다.
▶
토글
양함수 : $y = x^2 + 3x$ 처럼 $y =$ (x에 대한 식) 꼴로 정리된 것.
음함수 : $x^2 + y^2 = 1$ 처럼 $x$와 $y$가 뒤섞여서 $y=$로 못 풀어놓은 것.
원의 방정식 $x^2 + y^2 = r^2$이 대표적인 음함수입니다.
$x^2 + y^2 = r^2$ (원점 중심, 반지름 $r$)
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ (중심 $(a,b)$)
$y - y_1 = m(x - x_1)$, $m$ = $(x_1, y_1)$에서의 기울기(미분값)
$x^2 + y^2 = 25$에서 y를 x로 풀려면? $y = \pm\sqrt{25-x^2}$가 돼서 복잡해집니다. 음함수 미분을 쓰면 간단합니다.
핵심은 2번입니다. y를 미분할 때 "y는 x의 함수"라는 걸 절대 잊어서는 안 됩니다. 그래서 $(y^2)' = 2y \cdot \frac{dy}{dx}$이지, 그냥 $2y$가 아닙니다.
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Step 1
양변을 x에 대해 미분
$\frac{d}{dx}[x^2 + y^2] = \frac{d}{dx}[25]$
$\frac{d}{dx}[x^2] + \frac{d}{dx}[y^2] = 0$
Step 2
각 항 미분 (y 항은 연쇄법칙!)
$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
Step 3
$\frac{dy}{dx}$로 정리
$2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$
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Step 1
양변을 x에 대해 미분
좌변: $(x^3)' + (y^3)' = 3x^2 + 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx}$
우변: $6xy$는 곱이므로 곱의 법칙! $(6xy)' = 6y + 6x \cdot \frac{dy}{dx}$
Step 2
등식 세우기
$3x^2 + 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 6y + 6x \cdot \frac{dy}{dx}$
Step 3
$\frac{dy}{dx}$ 항끼리 모으기
$3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} - 6x \cdot \frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$
$(3y^2 - 6x) \cdot \frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$
Step 4
정리
$$\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$$
실수 1: y 미분 시 $\frac{dy}{dx}$ 빠뜨리기
$(y^2)' = 2y \cdot \frac{dy}{dx}$
y는 x의 함수입니다. 합성함수이므로 연쇄법칙을 적용해야 합니다.
실수 2: xy 곱에서 곱의 법칙 안 쓰기
$(xy)' = y + x \cdot \frac{dy}{dx}$
xy는 두 함수의 곱이므로 무조건 곱의 법칙을 적용해야 합니다.
1
$2x^2 + y^2 = 7$에서 $\frac{dy}{dx}$를 구하십시오.
H 힌트양변을 x에 대해 미분. $4x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
A 정답$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$
2
$xy + y^2 = 4$에서 $\frac{dy}{dx}$를 구하십시오.
H 힌트$xy$는 곱이므로 곱의 법칙. $(xy)' = y + x \frac{dy}{dx}$
A 정답$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x + 2y}$
3
$\sin(xy) = y$에서 $\frac{dy}{dx}$를 구하십시오.
H 힌트좌변은 연쇄법칙 + 곱의 법칙. $\cos(xy) \cdot (y + x\frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx}$
A 정답$\frac{dy}{dx} = \frac{y\cos(xy)}{1 - x\cos(xy)}$
4
$e^{xy} + y = 5$에서 $x=0$일 때 $\frac{dy}{dx}$를 구하십시오.
H 힌트먼저 x=0일 때 y의 값을 구하십시오. $e^{0 \cdot y} + y = 5$이므로 $1 + y = 5$, 즉 $y = 4$입니다. 이제 양변을 x에 대해 미분하십시오.
A 정답$e^{xy}(y + x\frac{dy}{dx}) + \frac{dy}{dx} = 0$. x=0, y=4일 때 $e^{0} = 1$이므로 $(4 + 0) + \frac{dy}{dx} = 0$. 따라서 $\frac{dy}{dx} = -4$
미적분학1 · STEWART 2.8
점 $a$ 근방에서 $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$로 함수값을 근사하는 방법입니다. 비선형 함수를 국소적으로 일차식으로 대체하는 것이 핵심입니다.
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토글
$y - f(a) = f'(a)(x - a)$
접선 = 1차 함수. 복잡한 곡선을 직선으로 대체하는 게 선형근사의 핵심입니다.
"$y = mx + b$" 형태의 직선 알면 충분합니다. 여기서 $m$은 미분값.
정확한 값을 구하기 어려울 때 "거의 비슷한 값"으로 대체하는 것. 예: $\sqrt{4.01} \approx 2.0025$.
어떤 함수가 복잡하면? x가 a 근처일 때, 그 함수를 x=a에서의 접선으로 바꿔버려! 접선은 직선이므로 훨씬 간단합니다.
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Step 1
함수 설정, a값 선택
$f(x) = \sqrt{x}$를 구하려는데, 4.01은 4 근처지? $a=4$ 선택!
Step 2
$f(a)$, $f'(a)$ 계산
$f(4) = 2$
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ → $f'(4) = \frac{1}{4}$
Step 3
선형근사 공식 적용
$f(x) \approx 2 + \frac{1}{4}(x-4)$
Step 4
x=4.01 대입
$f(4.01) \approx 2 + \frac{1}{4}(4.01-4) = 2 + \frac{1}{4}(0.01) = 2 + 0.0025 = 2.0025$
x가 0 근처에서 sin(x) (보라색)와 그 접선 y=x (파란색)가 얼마나 가까운지 봐. 이게 선형근사의 핵심입니다.
PART 2
자주 쓰는 선형근사 (x≈0)
PART 3
미분 (Differentials)
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Step 1
도함수 구하기
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 1$
Step 2
x=2에서 도함수 값
$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=2} = 3(4) + 1 = 13$
Step 3
dy 계산
$dy = 13 \times 0.05 = 0.65$
Δy는 실제 함수값의 변화, dy는 접선을 따라 근사한 변화입니다.
a값을 잘못 선택하기
a는 항상 "계산하기 편한 정확한 값"을 고르는 것입니다.
1
$\sqrt[3]{8.1}$을 선형근사로 구하십시오. (a=8 사용)
H 힌트$f(x) = x^{1/3}$, $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$. x=8 대입하면 $f'(8) = \frac{1}{12}$
A 정답$2 + \frac{1}{12}(0.1) = 2.00\overline{8}$
2
$\sin(0.1)$을 선형근사 공식으로 구하십시오. (a=0 사용)
H 힌트f(0)=0, f'(0)=1이므로 $\sin x \approx x$. 그냥 0.1입니다.
A 정답0.1
3
y = x² - x에서 x=2, dx=0.02일 때 dy를 구하십시오.
H 힌트$\frac{dy}{dx} = 2x - 1$. x=2일 때 값은?
A 정답dy = 3 × 0.02 = 0.06
미적분학1 · STEWART 3.5
삼각함수의 역함수인 $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$을 정의합니다. 정의역 제한 조건과 미분 공식을 다룹니다.
▶
토글
$\sin 0 = 0, \; \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \; \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \; \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \; \sin\frac{\pi}{2} = 1$
이 값들이 자동으로 나와야 역삼각함수를 편하게 다룰 수 있습니다.
$f(x) = y$이면 $f^{-1}(y) = x$. "되돌리기" 함수.
$\sin\theta = \frac{1}{2}$이면 $\theta = \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$
$\sin x$는 여러 각도에서 같은 값을 가져. 역함수가 되려면 정의역을 제한해야 합니다.
$\arcsin$: 정의역 $[-1, 1]$, 치역 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
y = sin x에서 "x의 값을 구하고 싶다면?" 그것이 역함수 arcsin입니다. x = arcsin y.
arcsin (보라색)는 [-π/2, π/2], arccos (파란색)는 [0, π], arctan (초록색)은 수평 점근선을 가져. 각 함수의 정의역과 치역 차이를 확인하십시오.
솔직히 이 공식들이 왜 그런지가 중요합니다. trick은 음함수 미분입니다. y = arcsin x ⟹ sin y = x. 양변을 x에 대해 미분하면 cos y · dy/dx = 1. cos y = √(1-sin²y) = √(1-x²)이므로 결국 dy/dx = 1/√(1-x²)가 나오는 것입니다!
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Step 1
공식 + 연쇄법칙
바깥: $(\arctan u)' = \frac{1}{1+u^2}$
안: $u = x^2$, $u' = 2x$
Step 2
곱하기
$\frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^4}$
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Step 1
공식 + 연쇄법칙
바깥: $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$
안: $u = e^x$, $u' = e^x$
Step 2
곱하기
$\frac{1}{\sqrt{1-(e^x)^2}} \cdot e^x = \frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}$
1
$\frac{d}{dx}[\arcsin(2x)]$를 구하십시오.
H 힌트$(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$, u=2x, u'=2
A 정답$\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$
2
$\frac{d}{dx}[\arccos(x^3)]$를 구하십시오.
H 힌트$(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$. 음수 붙는 거 잊지 않도록 주의하십시오.
A 정답$-\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}$
3
$\frac{d}{dx}[x\arctan(x)]$를 구하십시오.
H 힌트곱의 법칙! $(x)' \cdot \arctan(x) + x \cdot (\arctan(x))'$
A 정답$\arctan(x) + \frac{x}{1+x^2}$
미적분학1 · STEWART 3.6
쌍곡선함수 $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$는 지수함수로 정의되며, 삼각함수와 유사한 항등식 구조를 갖습니다.
▶
토글
$e \approx 2.718..$, $(e^x)' = e^x$. 기초 단원에서 배운 내용 그대로.
$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
삼각함수가 원 위의 좌표라면, 쌍곡선함수는 쌍곡선 위의 좌표.
고등학교에서 안 배웠어도 정상! 대학에서 처음 나오는 내용. $e^x$만 알면 따라갈 수 있습니다.
삼각함수가 단위원 x²+y²=1에서 나오듯, 쌍곡선함수는 쌍곡선 $x^2-y^2=1$에서 정의됩니다. 그래서 '쌍곡선'함수라 부릅니다.
쌍곡선함수는 물리/공학에서 매달린 전선의 모양(catenary: y=cosh x)에 나와. 수학 시험에는 '정의 + 미분 공식'만 알면 충분합니다.
sinh (보라색)는 기함수로 원점 대칭, cosh (파란색)는 짝함수로 y축 대칭입니다. tanh (초록색)는 -1과 1 사이로 수렴하는 S자 곡선이지.
1
$\frac{d}{dx}[\sinh(3x)]$를 구하십시오.
H 힌트$(\sinh u)' = \cosh u \cdot u'$. u = 3x, u' = 3
A 정답$3\cosh(3x)$
2
$\frac{d}{dx}[e^x \cosh(x)]$를 구하십시오.
H 힌트곱의 법칙. $(e^x)' = e^x$, $(\cosh x)' = \sinh x$
A 정답$e^x(\cosh x + \sinh x)$
3
쌍곡선 항등식 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$을 정의를 이용하여 증명하십시오.
H 힌트$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$를 대입하고 정리.
A 정답$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{(e^x+e^{-x})^2}{4} - \frac{(e^x-e^{-x})^2}{4} = \frac{(e^x+e^{-x})^2 - (e^x-e^{-x})^2}{4} = \frac{4e^x e^{-x}}{4} = 1$
미적분학1 · STEWART 3.7
$\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 부정형 극한에서, 분자·분모를 각각 미분하여 극한값을 구하는 정리입니다. 적용 조건과 반복 적용 가능 여부를 정확히 확인해야 합니다.
▶
토글
$\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ 같은 꼴. 값이 정해지지 않은 상태.
"0/0이면 인수분해해서 약분" 했지 않은가. 로피탈은 그 대안입니다. 인수분해가 불가능할 때 사용하는 도구입니다.
로피탈 법칙은 분자·분모를 각각 미분하므로, 기본 미분 공식의 숙달 이 전제됩니다.
$(e^x)' = e^x, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (\sin x)' = \cos x$
극한을 구할 때 직접 대입해도 극한값을 알 수 없는 형태를 부정형이라 합니다. 예를 들어 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$를 직접 계산하면 $\frac{0}{0}$이 되는데, 이건 "0을 0으로 나누면 얼마?"라는 질문과 같때문입니다. 0 곱하기 몇이 0이냐고 물으면 모든 수가 답이 될 수 있지? 그래서 이런 형태를 "부정형"이라고 부르는 것입니다.
부정형을 보면 처음엔 당황할 수 있습니다. 그런데 생각해보면 "뭔가 더 계산하면 알 수 있을 것 같은" 형태들입니다. 이게 정확히 로피탈 정리가 빛나는 순간입니다. 부정형이 나왔다는 건 직접 대입은 안 되지만, 다른 방법(미분, 변수 치환, 인수분해 등)으로 접근할 수 있다는 신호입니다.
로피탈의 정리를 바로 적용할 수 있는 부정형: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$
로피탈 정리를 바로 적용할 수 없는 부정형: $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^{\infty}$, $\infty^0$ (이들은 먼저 변형해야 함)
왜냐하면 로피탈 정리는 "분수 형태"에서만 작동하기 때문입니다. 나중에 배우겠지만, 나머지 부정형들도 결국 분수 형태로 변환해서 로피탈을 쓸 수 있습니다.
PART 2
로피탈의 정리 — 핵심 공식과 적용
조건 1: $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$이 $\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴이어야 함
조건 2: $f'(a) = 0$이고 $g'(a) = 0$이거나, 또는 $\lim_{x\to a}|f'(x)| = \infty$이고 $\lim_{x\to a}|g'(x)| = \infty$
조건 3: $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$가 존재하거나 $\pm\infty$로 발산해야 함
쉽게 말해서: (1) 부정형이 맞고, (2) 미분한 함수의 극한이 존재하거나 무한대면 써도 됩니다.
로피탈은 편하지만, "부정형이면 무조건 로피탈"이라는 생각은 위험합니다. 미분한 후의 극한이 존재하지 않으면 로피탈을 쓸 수 없습니다. 그때는 인수분해나 유리화 같은 다른 방법을 써야 합니다.
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Step 1: 부정형 확인
직접 대입: $\frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}$ ✓ 부정형이므로 로피탈 적용 가능
Step 2: 로피탈 적용
분자 미분: $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
분모 미분: $\frac{d}{dx}(x) = 1$
따라서 $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}$$
Step 3: 계산
$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$$
답: 1
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Step 1: 부정형 확인
$x \to \infty$일 때, $\ln x \to \infty$이고 $x \to \infty$이므로 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴입니다. 로피탈 OK!
Step 2: 로피탈 적용
분자 미분: $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$
분모 미분: $\frac{d}{dx}(x) = 1$
$$\lim_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to \infty}\frac{1/x}{1} = \lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}$$
Step 3: 계산
$$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x} = 0$$
답: 0 (로그는 어떤 거듭제곱보다 천천히 증가합니다!)
풀이 보기
Step 1: 부정형 확인
직접 대입: $\frac{e^0 - 1 - 0}{0^2} = \frac{0}{0}$ ✓
Step 2: 첫 번째 로피탈
분자 미분: $\frac{d}{dx}(e^x - 1 - x) = e^x - 1$
분모 미분: $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$
$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{2x}$$
이것도 여전히 $\frac{0}{0}$입니다.
Step 3: 두 번째 로피탈
분자 미분: $\frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x$
분모 미분: $\frac{d}{dx}(2x) = 2$
$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$$
결론
답: $\frac{1}{2}$
부정형이 남아있으면 계속 로피탈을 적용해도 돼! 근데 극한이 존재할 때까지만!
$\lim_{x\to a} f(x) \cdot g(x)$에서 $f(x) \to 0$, $g(x) \to \infty$일 때:
$$\lim_{x\to a} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{1/g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{g(x)}{1/f(x)}$$
이렇게 분수 형태로 만들면 $\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$가 되어서 로피탈을 쓸 수 있습니다.
$\lim_{x\to a} [f(x) - g(x)]$에서 둘 다 $\infty$로 갈 때:
$$\lim_{x\to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x\to a}\frac{f(x)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x)}{..}$$
통분하거나 분자를 인수분해해서 분수 형태로 만들어야 합니다.
$\lim_{x\to a} [f(x)]^{g(x)}$ 형태에서 위의 부정형이 나올 때는 로그를 취해:
$$y = [f(x)]^{g(x)} \Rightarrow \ln y = g(x) \ln f(x)$$
그럼 $\lim_{x\to a}\ln y$를 구해서 지수를 취하면 원래 극한을 구할 수 있습니다:
$$\lim_{x\to a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim_{x\to a} g(x)\ln f(x)}$$
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Step 1: 부정형 확인
$x \to 0^+$일 때, $x \to 0$이고 $\ln x \to -\infty$이므로 $0 \cdot (-\infty)$ 꼴입니다. 부정형입니다.
Step 2: 분수 형태로 변환
$$x\ln x = \frac{\ln x}{1/x}$$
이제 $x \to 0^+$일 때 분자는 $-\infty$, 분모는 $+\infty$이므로 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴입니다.
Step 3: 로피탈 적용
분자 미분: $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$
분모 미분: $\frac{d}{dx}(1/x) = -\frac{1}{x^2}$
$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x\to 0^+}\frac{x^2}{-x} = \lim_{x\to 0^+}(-x) = 0$$
결론
답: 0
$x\ln x$는 $x \to 0$일 때 0에 가까워집니다!
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Step 1: 부정형 확인
$x \to \infty$일 때, 밑은 $1+\frac{1}{x} \to 1$이고 지수는 $x \to \infty$이므로 $1^{\infty}$ 꼴입니다.
Step 2: 로그 취하기
$y = \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$라고 하면:
$$\ln y = x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$$
이제 $\lim_{x\to \infty} x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$를 구해야 합니다. 이건 $\infty \cdot 0$ 꼴입니다.
Step 3: 다시 분수로 변환
$$x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{\ln(1+1/x)}{1/x}$$
$x \to \infty$일 때 분자는 $\ln 1 = 0$, 분모는 $0$이므로 $\frac{0}{0}$ 꼴!
Step 4: 로피탈 적용
분자 미분: $\frac{d}{dx}\ln(1+1/x) = \frac{1}{1+1/x} \cdot (-1/x^2) = \frac{-1/x^2}{1+1/x} = \frac{-1}{x^2+x}$
분모 미분: $\frac{d}{dx}(1/x) = -1/x^2$
$$\lim_{x\to \infty}\frac{-1/(x^2+x)}{-1/x^2} = \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^2+x} = \lim_{x\to \infty}\frac{1}{1+1/x} = 1$$
Step 5: 원래 극한 구하기
$\lim_{x\to \infty}\ln y = 1$이므로:
$$\lim_{x\to \infty} y = e^1 = e$$
답: $e$ (이것도 유명한 극한입니다.)
지수형 부정형($0^0$, $1^{\infty}$, $\infty^0$)은 처음엔 복잡해 보입니다. 그런데 패턴이 있습니다: 로그를 취해서 지수를 내려놓으면 곱셈 형태가 되고, 이걸 또 분수로 변환해서 로피탈을 쓰는 것입니다. 이 과정을 반복하다 보면 익숙해집니다.
$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{2x}{1} = \lim_{x\to 0}2x = 0$
$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0}x = 0$ (인수분해 또는 약분!)
또는 애초에 $\frac{0}{0}$이 맞나? 확인해보면 $x \neq 0$에서 $\frac{x^2}{x} = x$이므로 부정형이 아닙니다.
팁: 로피탈을 쓰기 전에 항상 "지금 정말 부정형이 맞나?"를 확인해야 합니다. 로피탈이 만능이 아닙니다.
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$에 로피탈을 쓸 때
$\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{d}{dx}(\sin x / x)$ (몫의 미분법 사용)
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1} = 1$
분자만 미분, 분모만 미분! 몫의 미분법은 쓰면 안 됩니다.
팁: 로피탈 정리는 "분자를 미분한 것을 분모를 미분한 것으로 나눔"입니다. 몫의 미분법($\frac{f'g - fg'}{g^2}$) 같은 건 절대 쓰면 안 됩니다.
$\lim_{x\to 0}\frac{x+\sin x}{x}$를 보자마자 $\frac{0}{0}$이니까 로피탈!
$\lim_{x\to 0}\frac{1+\cos x}{1} = 2$ ← 답은 맞지만, 로피탈 없이도 풀 수 있는 문제에 로피탈을 쓴 것
먼저 간단히 변형: $\frac{x+\sin x}{x} = 1 + \frac{\sin x}{x}$
$\lim_{x\to 0}\left(1 + \frac{\sin x}{x}\right) = 1 + 1 = 2$
로피탈 없이 기본 극한($\frac{\sin x}{x} \to 1$)만으로 해결! 이것이 더 깔끔한 풀이입니다.
팁: 두 풀이 모두 답 2로 같지만, 핵심 차이는 이것입니다 — 틀린 풀이는 "생각 없이 로피탈부터 적용"한 것이고, 맞는 풀이는 "먼저 식을 간단히 변형할 수 있는지 확인"한 것입니다. 시험에서는 로피탈 없이 풀 수 있는 문제에 로피탈을 쓰면 감점될 수 있습니다.
1 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$을 구하십시오.
H 힌트
먼저 직접 대입해서 부정형을 확인해야 합니다. 그 다음 인수분해를 하거나 로피탈을 쓸 수 있습니다.
팁: $x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$이고 $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$입니다.
A 정답
풀이 1 (인수분해):
직접 대입하면 $\frac{0}{0}$이므로 부정형입니다.
$$\frac{x^3-1}{x^2-1} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+x+1}{x+1}$$ (단, $x \neq 1$)
$$\lim_{x\to 1}\frac{x^2+x+1}{x+1} = \frac{1+1+1}{1+1} = \frac{3}{2}$$
풀이 2 (로피탈):
분자 미분: $\frac{d}{dx}(x^3-1) = 3x^2$
분모 미분: $\frac{d}{dx}(x^2-1) = 2x$
$$\lim_{x\to 1}\frac{3x^2}{2x} = \frac{3 \cdot 1^2}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$$
답: $\frac{3}{2}$
2 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x - x}{x^3}$을 구하십시오.
H 힌트
직접 대입하면 $\frac{0}{0}$입니다. 부정형이므로 로피탈을 쓸 수 있습니다.
그런데 한 번의 로피탈로 끝나지 않을 수 있습니다. 계속 확인해야 합니다.
A 정답
첫 번째 로피탈:
분자 미분: $\frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1$
분모 미분: $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sec^2 x - 1}{3x^2}$$
직접 대입하면 여전히 $\frac{0}{0}$이므로 다시 로피탈!
두 번째 로피탈:
분자 미분: $\frac{d}{dx}(\sec^2 x - 1) = 2\sec^2 x \tan x$
분모 미분: $\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$
$$\lim_{x\to 0}\frac{2\sec^2 x \tan x}{6x}$$
여전히 $\frac{0}{0}$.. 한 번 더!
세 번째 로피탈:
분자 미분: $\frac{d}{dx}(2\sec^2 x \tan x) = 2\sec^2 x \cdot \sec^2 x + 2\tan x \cdot 2\sec x \cdot \sec x \tan x = 2\sec^4 x + 4\sec^2 x \tan^2 x$
분모 미분: $\frac{d}{dx}(6x) = 6$
$$\lim_{x\to 0}\frac{2\sec^4 x + 4\sec^2 x \tan^2 x}{6} = \frac{2 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot 0}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
답: $\frac{1}{3}$
3 $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^x$을 구하십시오.
H 힌트
이건 $0^0$ 꼴의 부정형입니다. 로그를 취해서 처리해야 합니다.
$y = x^x$라고 하고 $\ln y = x \ln x$를 먼저 계산해 보십시오.
$x \ln x$는 뭔가 친숙한 극한이 아닐까? 예제 4를 다시 봐!
A 정답
로그 취하기:
$y = x^x$라고 하면 $\ln y = x\ln x$
극한 계산:
예제 4에서 $\lim_{x\to 0^+}x\ln x = 0$을 구했어!
따라서 $\lim_{x\to 0^+}\ln y = 0$
원래 극한:
$\lim_{x\to 0^+}x^x = e^0 = 1$
답: 1
흥미롭게도 $0^0$의 극한값이 1입니다.
7가지 부정형($\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^{\infty}$, $\infty^0$)을 모두 구분할 수 있습니다
로피탈 정리의 적용 조건 3가지(부정형 확인, 미분 가능, 극한 존재)를 압니다
$0 \cdot \infty$ 꼴을 분수로 변환하고 $\infty - \infty$ 꼴을 통분해서 처리할 수 있습니다
지수형 부정형($0^0$, $1^{\infty}$, $\infty^0$)에 자연로그를 취해서 처리할 수 있습니다
로피탈을 반복 적용해야 하는 경우를 판단하고, 각 단계에서 부정형을 확인할 수 있습니다
미적분학1 · STEWART 4.6
방정식 $f(x) = 0$의 근을 반복적으로 근사하는 알고리즘입니다. 초기값 $x_0$에서 접선의 $x$절편을 다음 근사값으로 사용하며, $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$으로 수렴합니다.
▶
토글
$f(x) = 0$을 만족하는 $x$값. 그래프에서 $x$축과 만나는 점.
이차방정식은 근의 공식이 있지만, 복잡한 방정식은 공식이 없습니다. 뉴턴법은 반복 계산으로 근을 찾습니다.
뉴턴법은 접선이 $x$축과 만나는 점을 반복적으로 구해서 근에 다가가는 방법입니다.
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
PART 1
뉴턴 방법의 아이디어 — 접선으로 근을 쫓아가기
방정식 $f(x) = 0$의 근을 "접선"으로 찾아가는 반복 알고리즘입니다. 그래프 위의 한 점에서 접선을 그으면 그 접선이 x축과 만나는 점이 더 나은 근사값이 된다는 아이디어입니다.
$x_n$이 근 $r$의 대략적인 근사값이라 하자. 점 $(x_n, f(x_n))$에서의 접선 방정식은:
$$y - f(x_n) = f'(x_n)(x - x_n)$$
이 접선이 x축과 만나는 점을 $x_{n+1}$이라 하면 (즉, $y = 0$일 때):
$$0 - f(x_n) = f'(x_n)(x_{n+1} - x_n)$$
$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
이게 뉴턴 방법 공식입니다. 이 과정을 반복하면 근에 빠르게 수렴합니다.
PART 2
구체적 적용 — 단계별 계산
초기값 $x_0 = 2$에서 시작하여 $x_1, x_2, x_3$을 구해 봅니다.
풀이 보기
Step 1: 함수와 도함수 준비
$f(x) = x^3 - 2x - 5$
$f'(x) = 3x^2 - 2$
공식: $x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^3 - 2x_n - 5}{3x_n^2 - 2}$
Step 2: $x_1$ 계산
$x_0 = 2$일 때:
$f(2) = 2^3 - 2(2) - 5 = 8 - 4 - 5 = -1$
$f'(2) = 3(2)^2 - 2 = 12 - 2 = 10$
$$x_1 = 2 - \frac{-1}{10} = 2 + 0.1 = 2.1$$
Step 3: $x_2$ 계산
$x_1 = 2.1$일 때:
$f(2.1) = (2.1)^3 - 2(2.1) - 5 = 9.261 - 4.2 - 5 = 0.061$
$f'(2.1) = 3(2.1)^2 - 2 = 3(4.41) - 2 = 13.23 - 2 = 11.23$
$$x_2 = 2.1 - \frac{0.061}{11.23} \approx 2.1 - 0.00543 \approx 2.0946$$
Step 4: $x_3$ 계산
$x_2 \approx 2.0946$일 때:
$f(2.0946) \approx (2.0946)^3 - 2(2.0946) - 5 \approx 0.0000077$
$f'(2.0946) = 3(2.0946)^2 - 2 \approx 11.183$
$$x_3 \approx 2.0946 - \frac{0.0000077}{11.183} \approx 2.0946$$
이제 거의 수렴했습니다! 근은 약 $2.0946$입니다.
$\sqrt{2}$를 뉴턴 방법으로 구하려면? $x^2 - 2 = 0$의 양의 근이 $\sqrt{2}$다.
풀이 보기
Step 1: 함수 설정
$f(x) = x^2 - 2$, $f'(x) = 2x$
공식: $x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \dfrac{x_n^2 + 2}{2x_n} = \dfrac{x_n + \dfrac{2}{x_n}}{2}$
Step 2: $x_0 = 1.5$에서 시작
$x_1 = \dfrac{1.5 + \dfrac{2}{1.5}}{2} = \dfrac{1.5 + 1.333..}{2} = \dfrac{2.833..}{2} \approx 1.4167$
$x_2 = \dfrac{1.4167 + \dfrac{2}{1.4167}}{2} \approx \dfrac{1.4167 + 1.4118}{2} \approx 1.41421$
실제 $\sqrt{2} \approx 1.41421356..$
불과 2번의 반복으로 소수점 5자리까지 정확해졌어!
시험에서는 보통 2~3번의 반복만 시켜. 거기서 계산을 정확하게 하는 것이 핵심입니다. 특히 소수점 계산이 많으므로 천천히, 한 번에 한 자리씩 정확하게 계산해야 합니다. 계산 과정을 다 보여주는 게 중요하므로 중간 과정을 생략하지 말고 모두 기술해야 합니다. $x_n$을 $x_{n+1}$로 구하는 과정에서 분자와 분모를 각각 계산한 후 나누는 순서도 중요합니다.
뉴턴 방법이 실패하는 경우도 있습니다. 다음을 조심합니다.
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문제 상황
$x_n$에서 $f'(x_n) = 0$이면 공식의 분모가 0이 되어서 $x_{n+1}$을 정의할 수 없습니다. 기하학적으로는 접선이 수평이라서 x축과 만나지 않아.
예: $f(x) = x^3$에서 $x_0 = 0$으로 시작하면 $f'(0) = 0$이 되어 방법이 작동하지 않습니다.
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수렴 안 하는 경우
어떤 함수의 경우, $x_n$과 $x_{n+1}$ 사이를 반복해서 진동하면서 근에 수렴하지 않을 수 있습니다.
예: $f(x) = x^{1/3}$처럼 변곡점이 있는 함수들에서 초기값이 잘못되면 이런 일이 일어나.
만약 계산을 몇 번 해도 $x_n$ 값이 진동한다면, 초기값을 변경해야 합니다.
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초기값이 중요합니다.
방정식이 여러 개의 근을 가질 때, 어느 초기값을 선택하느냐에 따라 다른 근으로 수렴할 수 있습니다. 또는 지나치게 먼 초기값을 선택하면 발산하기도 합니다.
핵심: 초기값 $x_0$는 항상 "구하고 싶은 근 근처"에서 선택해야 합니다. 그래서 문제에서 "초기값 $x_0 = ..$" 이렇게 명시해주는 것입니다.
뉴턴 방법을 안전하게 쓰려면:
먼저 그래프를 대략 그려보거나 몇 가지 함숫값을 계산해서 근이 대략 어디에 있는지 파악합니다.
근 근처에서 초기값을 선택합니다.
반복 계산에서 $x_n$ 값이 수렴하는지, 진동하는지 관찰합니다.
만약 수렴하지 않으면 다른 초기값을 시도합니다.
실수 1: $f(x)$와 $f'(x)$ 계산 실수
$f'(x) = 3x^2 + 2$ (올바른 도함수)
도함수를 틀리면 뉴턴 공식 전체가 틀어집니다. 반드시 미분을 정확히 수행해야 합니다. 실수하면 이후 모든 $x_n$ 계산이 연쇄적으로 틀려.
실수 2: 반복 횟수 기준 혼동
$x_0$는 초기값, $x_1$이 1번째 반복, $x_2$가 2번째 반복
문제에서 "3번 반복 후의 값"을 구하라고 하면 $x_3$을 구하는 것입니다. $x_1, x_2, x_3$ 총 3개를 계산해야 합니다.
실수 3: 중간 계산 과정을 생략
"$x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \dfrac{-1}{10} = 2.1$" (과정 명시)
시험에서는 과정을 다 보여줘야 부분점수를 받아. 특히 분자와 분모를 각각 계산한 후 나누는 과정이 중요합니다.
1
$f(x) = x^3 + x - 1$일 때, 초기값 $x_0 = 0.5$에서 뉴턴 방법을 시작하여 $x_1$과 $x_2$를 구하시오. (소수점 이하 4자리까지)
H 힌트
$f'(x) = 3x^2 + 1$입니다. 공식에 직접 대입해서 $x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$을 계산하면 됩니다.
A 정답
Step 1: $f'(x)$ 구하기
$f(x) = x^3 + x - 1$이므로 $f'(x) = 3x^2 + 1$
Step 2: $x_1$ 계산
$f(0.5) = (0.5)^3 + 0.5 - 1 = 0.125 + 0.5 - 1 = -0.375$
$f'(0.5) = 3(0.5)^2 + 1 = 3(0.25) + 1 = 0.75 + 1 = 1.75$
$$x_1 = 0.5 - \frac{-0.375}{1.75} = 0.5 + \frac{0.375}{1.75} = 0.5 + 0.2143 = 0.7143$$
Step 3: $x_2$ 계산
$f(0.7143) \approx (0.7143)^3 + 0.7143 - 1 = 0.3646 + 0.7143 - 1 = 0.0789$
$f'(0.7143) = 3(0.7143)^2 + 1 = 3(0.5102) + 1 = 1.5306 + 1 = 2.5306$
$$x_2 = 0.7143 - \frac{0.0789}{2.5306} = 0.7143 - 0.0312 = 0.6831$$
2
$\cos x = x$를 만족하는 양의 근을 초기값 $x_0 = 1$에서 뉴턴 방법으로 구하여 $x_2$까지 계산하시오.
H 힌트
$\cos x = x$는 $f(x) = \cos x - x = 0$으로 변환합니다. 그러면 $f'(x) = -\sin x - 1$입니다.
A 정답
Step 1: 함수 설정
$f(x) = \cos x - x$, $f'(x) = -\sin x - 1$
Step 2: $x_1$ 계산
$f(1) = \cos(1) - 1 \approx 0.5403 - 1 = -0.4597$
$f'(1) = -\sin(1) - 1 \approx -0.8415 - 1 = -1.8415$
$$x_1 = 1 - \frac{-0.4597}{-1.8415} = 1 - 0.2498 = 0.7502$$
Step 3: $x_2$ 계산
$f(0.7502) = \cos(0.7502) - 0.7502 \approx 0.7317 - 0.7502 = -0.0185$
$f'(0.7502) = -\sin(0.7502) - 1 \approx -0.6819 - 1 = -1.6819$
$$x_2 = 0.7502 - \frac{-0.0185}{-1.6819} = 0.7502 - 0.0110 = 0.7392$$
수렴하는 근은 약 $0.7391$입니다.
3
다음 함수 중 하나를 선택하여 뉴턴 방법이 수렴하지 않는 초기값 예시를 하나 제시하고, 그 이유를 설명하시오: (1) $f(x) = x^3$, (2) $f(x) = x^{1/3}$
H 힌트
각 함수에서 $f'(x)$를 구해 보고, 어떤 초기값에서 $f'(x_n) = 0$이 되거나 접선이 제대로 작동하지 않는지 살펴봐.
A 정답
예시 1: $f(x) = x^3$의 경우
$f(x) = x^3 - 0 = 0$의 근은 $x = 0$입니다.
$f'(x) = 3x^2$이므로 초기값을 $x_0 = 0$으로 잡으면 $f'(0) = 0$이 됩니다.
따라서 공식 $x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$에서 분모가 0이 되어 정의되지 않아.
이유: 원점에서의 접선이 수평이므로 x축과 만나지 않음.
예시 2: $f(x) = x^{1/3}$의 경우
$f(x) = x^{1/3}$의 근은 $x = 0$입니다.
$f'(x) = \dfrac{1}{3}x^{-2/3} = \dfrac{1}{3x^{2/3}}$이므로 $x = 0$에서 정의되지 않아.
초기값 $x_0 = -0.1$ 같은 음수를 잡으면, 접선의 기울기가 매우 가파르거나 음수 영역에서 진동할 수 있습니다.
이유: 변곡점을 지나는 함수라서 뉴턴 방법이 진동하며 수렴하지 않음.
미적분학1 · STEWART 5.2
구간 $[a, b]$를 $n$등분하고 각 소구간에서의 함수값과 폭의 곱을 합산한 것이 리만 합입니다. $n \to \infty$일 때 이 합의 극한이 정적분 $\int_a^b f(x)\,dx$의 정의입니다.
▶
토글
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$
"$i$를 1부터 $n$까지 바꿔가면서 다 더해라". 정적분은 이걸 무한히 잘게 쪼갠 버전입니다.
곡선 아래 넓이 = 아주 좁은 직사각형을 많이 만들어서 다 더하기.
넓이 $\approx \sum f(x_i^*) \cdot \Delta x$ → $n \to \infty$면 $\int_a^b f(x)\,dx$
$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
PART 1
리만 합 — 넓이를 직사각형으로
곡선 아래 넓이를 구하려면? 구간을 잘게 나눠서 각 부분을 직사각형으로 근사하고, 그 직사각형들을 다 더하는 것입니다. 구간을 무한히 잘게 나눌 때의 극한이 진짜 넓이입니다.
풀이 보기
$f(x) = x$, $[0, 1]$을 $n=4$로 나눌 때 왼쪽 끝점 리만 합을 구하자.
Step 1
$\Delta x$ 계산
$$\Delta x = \frac{1-0}{4} = \frac{1}{4}$$
Step 2
각 소구간의 왼쪽 끝점
$$x_0=0, \quad x_1=\frac{1}{4}, \quad x_2=\frac{1}{2}, \quad x_3=\frac{3}{4}$$
Step 3
리만 합 계산
$$S_4 = f(x_0)\Delta x + f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + f(x_3)\Delta x$$
$$= 0 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$$
$$= \frac{1}{32} + \frac{2}{32} + \frac{3}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$$
정적분은 리만 합에서 구간을 무한히 많이 나눈 극한입니다. 즉, $n \to \infty$일 때 리만 합들이 수렴하는 값이 정적분입니다. 만약 함수 $f$가 구간 $[a,b]$에서 연속이면, 어떤 $x_i^*$를 선택하든 같은 정적분 값으로 수렴합니다.
정적분의 정의를 "수식으로" 물어보는 시험문제가 무조건 나와. 특히 시그마 기호와 극한을 정확히 쓰는 것이 중요합니다. 리만 합 $\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x$를 쓸 때 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$도 명시해야 합니다. 암기만 하지 말고 기호가 뭘 뜻하는지 이해하면 응용도 쉬워집니다.
이 성질들은 복잡한 적분을 단순하게 만들어줍니다. 예를 들어 $\int_0^5 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$를 계산할 때, 성질 4와 3을 사용해서 $3\int_0^5 x^2\,dx - 2\int_0^5 x\,dx + \int_0^5 1\,dx$로 쪼갤 수 있습니다. 각각을 따로 구하면 됩니다.
풀이 보기
$\int_1^3 [2f(x) - g(x)]\,dx$를 계산하는데, $\int_1^3 f(x)\,dx = 5$, $\int_1^3 g(x)\,dx = 2$가 주어졌습니다.
Step 1
성질 4 (합과 차) 적용
$$\int_1^3 [2f(x) - g(x)]\,dx = \int_1^3 2f(x)\,dx - \int_1^3 g(x)\,dx$$
Step 2
성질 3 (상수배) 적용
$$= 2\int_1^3 f(x)\,dx - \int_1^3 g(x)\,dx$$
Step 3
주어진 값 대입
$$= 2(5) - 2 = 10 - 2 = 8$$
풀이 보기
오른쪽 끝점 리만 합을 사용해서 정적분 값을 구하자.
Step 1
$\Delta x$와 $x_i$ 결정
$$\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}$$
$$x_i = 0 + i \cdot \frac{1}{n} = \frac{i}{n} \quad (i=1,2,\ldots,n)$$
Step 2
리만 합 설정
$$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^2}{n^3}$$
$$= \frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2$$
Step 3
시그마 공식 적용
$$S_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$$
Step 4
극한 계산
$$\int_0^1 x^2\,dx = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$$
분자를 전개하면:
$$= \lim_{n\to\infty} \frac{2n^2 + 3n + 1}{6n^2} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{2}{6} + \frac{3}{6n} + \frac{1}{6n^2}\right)$$
$$= \frac{1}{3} + 0 + 0 = \frac{1}{3}$$
풀이 보기
오른쪽 끝점을 사용하자.
Step 1
$\Delta x$와 $x_i$ 결정
$$\Delta x = \frac{4-1}{n} = \frac{3}{n}$$
$$x_i = 1 + i \cdot \frac{3}{n} = 1 + \frac{3i}{n} \quad (i=1,2,\ldots,n)$$
Step 2
리만 합 설정
$$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(2\left(1+\frac{3i}{n}\right)+1\right) \cdot \frac{3}{n}$$
$$= \sum_{i=1}^{n} \left(3 + \frac{6i}{n}\right) \cdot \frac{3}{n}$$
$$= \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{9}{n} + \frac{18i}{n^2}\right)$$
$$= \frac{9}{n}\sum_{i=1}^{n}1 + \frac{18}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i$$
Step 3
시그마 공식 적용
$$S_n = \frac{9}{n} \cdot n + \frac{18}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$$
$$= 9 + \frac{18(n+1)}{2n} = 9 + \frac{9(n+1)}{n}$$
Step 4
극한 계산
$$\int_1^4 (2x+1)\,dx = \lim_{n\to\infty}\left(9 + \frac{9(n+1)}{n}\right)$$
$$= \lim_{n\to\infty}\left(9 + 9 + \frac{9}{n}\right) = 18$$
실수 1: $\Delta x$를 빼먹거나 잘못 계산
맞음
$$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n} \cdot \frac{1}{n}$$
(반드시 $\Delta x$를 곱해야 함)
리만 합은 "높이 × 너비"의 합입니다. 너비 $\Delta x$를 빼먹으면 안 됩니다.
실수 2: $x_i$ 공식을 잘못 유도
맞음
$$x_i = a + i\Delta x = 0 + i \cdot \frac{1}{n} = \frac{i}{n}$$
일반적으로: $x_i = a + i\Delta x$
구간이 $[a, b]$일 때, $x_i = a + i\Delta x$가 기본 공식입니다. 특히 $a \ne 0$일 때 주의!
실수 3: 시그마 공식을 잘못 적용
맞음
$$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
정확히 외워야 함!
세 공식 모두 정확하게 암기해야 합니다. 특히 $\sum i^2$의 분자에 $(2n+1)$이 들어간다는 걸 잊지 않아야 합니다.
1 $\int_0^2 (3x-1)\,dx$를 리만 합의 정의로 계산하시오. (오른쪽 끝점 사용)
H 힌트
$\Delta x = \frac{2}{n}$이고, $x_i = \frac{2i}{n}$입니다. 리만 합을 세우면:
$$S_n = \sum_{i=1}^{n} \left(3 \cdot \frac{2i}{n} - 1\right) \cdot \frac{2}{n}$$
이를 정리하고 시그마 공식을 적용해서 $n \to \infty$의 극한을 구하면 됩니다.
A 정답
$\Delta x = \frac{2}{n}$, $x_i = \frac{2i}{n}$
$$S_n = \sum_{i=1}^{n} \left(3 \cdot \frac{2i}{n} - 1\right) \cdot \frac{2}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{12i}{n^2} - \frac{2}{n}\right)$$
$$= \frac{12}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i - \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}1$$
$$= \frac{12}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} - \frac{2}{n} \cdot n$$
$$= \frac{6(n+1)}{n} - 2 = 6 + \frac{6}{n} - 2$$
$$\int_0^2 (3x-1)\,dx = \lim_{n\to\infty}\left(4 + \frac{6}{n}\right) = 4$$
2 다음 극한을 정적분으로 나타내시오: $$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \frac{2}{n}\sqrt{1+\frac{2i}{n}}$$
H 힌트
리만 합의 정의 형태로 변환하자. $\frac{2}{n}$은 $\Delta x$의 역할을 하고, $\sqrt{1+\frac{2i}{n}}$은 $f(x_i)$의 형태입니다.
$\Delta x = \frac{2}{n}$이면, 구간은 $[1, 1+2] = [1, 3]$입니다.
$x_i = 1 + i \Delta x = 1 + \frac{2i}{n}$이므로, $f(x) = \sqrt{x}$다.
A 정답
$\Delta x = \frac{2}{n}$이고, $x_i = 1 + \frac{2i}{n}$이면,
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \frac{2}{n}\sqrt{1+\frac{2i}{n}} = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$$
따라서 $f(x) = \sqrt{x}$이고, 구간은 $[1, 3]$입니다.
$$\therefore \int_1^3 \sqrt{x}\,dx$$
3 $\int_0^2 f(x)\,dx = 5$, $\int_2^6 f(x)\,dx = 3$일 때, $\int_0^6 f(x)\,dx$를 구하시오.
H 힌트
정적분의 성질 5 (구간 분할)을 사용하자.
$$\int_0^6 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^6 f(x)\,dx$$
A 정답
정적분의 성질 5 (구간 분할)에 의해:
$$\int_0^6 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^6 f(x)\,dx = 5 + 3 = 8$$
미적분학1 · STEWART 5.3
정적분을 리만 합의 극한으로 매번 계산하는 것은 비효율적입니다. 역도함수(부정적분)를 이용하면 $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$로 직접 계산할 수 있습니다.
▶
토글
"미분하면 $f(x)$가 되는 함수 $F(x)$"를 역도함수라고 합니다. 미분의 되감기.
$F'(x) = f(x)$ → $\int f(x)\,dx = F(x) + C$
$+C$는 적분 상수. 상수를 미분하면 0이므로 무한히 많은 역도함수가 있습니다.
미분 공식을 거꾸로 쓰면 적분 공식이 돼:
$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \int e^x\,dx = e^x + C$
미분의 역과정이 적분입니다. 미분표를 거꾸로 읽으면 적분표가 됩니다. 이걸 이해하면 공식 외우기가 훨씬 쉽습니다.
이 공식 10개는 무조건 외워. 시험지 받자마자 여백에 먼저 적어놔. 이거 하나 틀리면 문제 전체를 날리기 때문입니다. 진짜입니다.
PART 2
정적분 계산 — Evaluation Theorem
더 이상 리만 합으로 극한을 계산할 필요 없습니다. 역도함수를 찾은 후 끝값에서 시작값을 빼면 끝. 이게 정적분의 최대 강점입니다.
풀이 보기
1단계
부정적분 구하기
$F(x) = x^2 + x + C$
2단계
정적분 계산
$[F(x)]_1^3 = F(3) - F(1)$
3단계
끝값 계산
$F(3) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$
4단계
시작값 계산
$F(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$
5단계
뺄셈
$12 - 2 = \boxed{10}$
풀이 보기
1단계
부정적분 구하기
$F(x) = -\cos x + C$
2단계
정적분 계산
$[F(x)]_0^{\pi} = F(\pi) - F(0)$
3단계
끝값 계산
$F(\pi) = -\cos \pi = -(-1) = 1$
4단계
시작값 계산
$F(0) = -\cos 0 = -1$
5단계
뺄셈
$1 - (-1) = \boxed{2}$
풀이 보기
1단계
부정적분 구하기
$F(x) = \ln|x| + C$
2단계
정적분 계산
$[F(x)]_1^e = F(e) - F(1)$
3단계
끝값 계산
$F(e) = \ln|e| = \ln e = 1$
4단계
시작값 계산
$F(1) = \ln|1| = \ln 1 = 0$
5단계
뺄셈
$1 - 0 = \boxed{1}$
절댓값 포함 적분
절댓값이 있으면 함수가 부호를 바꾸는 지점을 찾아서 구간을 나눠. 그다음 각 구간에서 절댓값을 풀어서 적분합니다.
풀이 보기
1단계
절댓값 풀기: $-1 \leq x \leq 0$에서 $|x| = -x$, $0 \leq x \leq 2$에서 $|x| = x$
구간을 두 개로 나눔
2단계
적분 분리
$\int_{-1}^{2}|x|dx = \int_{-1}^{0}(-x)dx + \int_{0}^{2}x\,dx$
3단계
첫 번째 적분
$\int_{-1}^{0}(-x)dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} = 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$
4단계
두 번째 적분
$\int_{0}^{2}x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} = 2 - 0 = 2$
5단계
합하기
$\frac{1}{2} + 2 = \boxed{\frac{5}{2}}$
대칭성 활용
함수의 대칭성을 이용하면 계산을 줄일 수 있습니다. 우함수(짝수함수)는 y축 대칭, 기함수(홀수함수)는 원점 대칭입니다.
풀이 보기
1단계
함수 분해: $x^3$는 기함수 ($(-x)^3 = -x^3$), $x^2$는 우함수 ($(-x)^2 = x^2$)
대칭성 파악
2단계
적분 분리
$\int_{-2}^{2}(x^3 + x^2)dx = \int_{-2}^{2}x^3\,dx + \int_{-2}^{2}x^2\,dx$
3단계
기함수 적분 = 0
$\int_{-2}^{2}x^3\,dx = 0$
4단계
우함수 적분: 2배 공식 사용
$\int_{-2}^{2}x^2\,dx = 2\int_0^2 x^2\,dx = 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$
5단계
합하기
$0 + \frac{16}{3} = \boxed{\frac{16}{3}}$
실수 1: 부정적분의 상수 C를 정적분에서도 쓰기
왜 틀렸나? 정적분은 정확한 수값입니다. 부정적분은 함수족(family of functions)이라서 C가 필요하지만, 정적분 계산에서는 C가 소거됩니다.
틀린 풀이:
올바른 풀이:
$\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1$
$= \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ ← 처음부터 C 없음
팁: 정적분 계산에서는 절대로 +C를 쓰지 마. 부정적분이랑 헷갈리므로.
실수 2: $[F(x)]_a^b$에서 F(a)와 F(b) 순서 바꾸기
왜 틀렸나? 구간의 순서가 중요합니다. 위쪽(끝값)에서 아래쪽(시작값)을 빼야 됩니다.
틀린 풀이:
올바른 풀이:
$\int_0^2 x\,dx = [x^2/2]_0^2 = F(2) - F(0) = 2 - 0 = 2$ ← 양수 맞음
팁: 항상 "위에서 아래를 빼기"로 기억합니다. $[F(x)]_a^b = F(\text{끝}) - F(\text{시작})$
실수 3: $\int \frac{1}{x}dx = \ln x + C$로 쓰기 (절댓값 빼먹음)
왜 틀렸나? $\frac{1}{x}$는 음수 영역에서도 적분되는데, $\ln x$는 음수에서 정의되지 않아. 절댓값이 필수입니다.
틀린 풀이:
올바른 풀이:
$\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x}dx = [\ln|x|]_{-2}^{-1} = \ln 1 - \ln 2 = -\ln 2$
팁: $\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$ 항상 절댓값 기호를 붙여!
PRACTICE
연습문제
1.
$\int_0^4 (x^2 - 3x + 2)dx$를 계산하십시오.
H 힌트
다항식 부정적분은 각 항을 따로 적분합니다. $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ 공식을 써.
A 정답
풀이:
$\int_0^4 (x^2 - 3x + 2)dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x\right]_0^4$
끝값: $F(4) = \frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 16}{2} + 8 = \frac{64}{3} - 24 + 8 = \frac{64}{3} - 16 = \frac{64 - 48}{3} = \frac{16}{3}$
시작값: $F(0) = 0$
$\therefore \int_0^4 (x^2 - 3x + 2)dx = \frac{16}{3} - 0 = \boxed{\frac{16}{3}}$
2.
$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\sec^2 x + x^3)dx$를 계산하십시오. (대칭성 활용)
H 힌트
$\sec^2 x$는 우함수, $x^3$는 기함수입니다. 기함수 적분은 0이 됩니다.
A 정답
풀이:
$\sec^2 x$는 우함수 ($\sec^2(-x) = \sec^2 x$)
$x^3$는 기함수 ($(-x)^3 = -x^3$)
따라서 $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^3\,dx = 0$
$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sec^2 x\,dx = 2\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\,dx = 2[\tan x]_0^{\pi/4} = 2(1 - 0) = 2$
$\therefore \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\sec^2 x + x^3)dx = 2 + 0 = \boxed{2}$
3.
$\int_0^3 |2x-4|dx$를 계산하십시오.
H 힌트
$2x - 4 = 0$일 때 $x = 2$다. 따라서 $[0,2]$와 $[2,3]$으로 나눠서 계산합니다.
A 정답
풀이:
$2x - 4 = 0$에서 $x = 2$
$0 \leq x \leq 2$에서 $2x - 4 \leq 0$ 이므로 $|2x-4| = -(2x-4) = 4-2x$
$2 \leq x \leq 3$에서 $2x - 4 \geq 0$ 이므로 $|2x-4| = 2x-4$
$\int_0^3 |2x-4|dx = \int_0^2 (4-2x)dx + \int_2^3 (2x-4)dx$
첫 번째: $\int_0^2 (4-2x)dx = [4x - x^2]_0^2 = (8-4) - 0 = 4$
두 번째: $\int_2^3 (2x-4)dx = [x^2 - 4x]_2^3 = (9-12) - (4-8) = -3 - (-4) = 1$
$\therefore \int_0^3 |2x-4|dx = 4 + 1 = \boxed{5}$
미적분학1 · STEWART 5.4
미적분학의 기본정리는 두 부분으로 구성됩니다. 제1정리는 $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$, 제2정리는 $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$입니다. 미분과 적분이 역연산 관계에 있음을 보입니다.
▶
토글
부정적분 $\int f(x)\,dx$: 역도함수를 찾기 (결과 = 함수)
정적분 $\int_a^b f(x)\,dx$: 구간에서 넓이 구하기 (결과 = 숫자)
이 단원은 이 둘이 같은 것이라는 사실을 증명합니다. 미적분학에서 가장 중요한 다리.
미분: 순간 변화율 (자르기) ↔ 적분: 변화율 누적 (더하기)
$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$ — 적분한 걸 미분하면 원래로 돌아와
PART 1
미적분학의 기본정리 1 (FTC1)
핵심 직관
적분한 다음에 미분하면 원래 함수로 돌아와. 적분 → 미분 = 상쇄입니다.
$g(x) = \int_a^x f(t)\,dt$는 "넓이 함수"이며, 그 변화율이 바로 $f(x)$다.
이게 왜 그럴까? $g(x) = \int_a^x f(t)\,dt$라고 하면, $g(x+h) - g(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,dt$야. 이 값은 가로가 $h$이고 높이가 대략 $f(x)$인 직사각형 넓이때문입니다.
따라서 $\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_x^{x+h} f(t)\,dt}{h} = f(x)$야. 이것이 FTC1입니다.
$\frac{d}{dx}\int_1^x t^3\,dt$를 구하십시오.
풀이 보기
Step 1
FTC1을 바로 적용합니다. $f(t) = t^3$이고 상한이 $x$이므로.
답
$$\frac{d}{dx}\int_1^x t^3\,dt = x^3$$
이게 핵심입니다. 적분 기호를 미분하는 게 아니라, 상한인 $x$를 함수에 대입하면 끝!
$\frac{d}{dx}\int_0^x \sqrt{1+t^2}\,dt$를 구하십시오.
풀이 보기
Step 1
여기서도 FTC1 적용. $f(t) = \sqrt{1+t^2}$, 상한 = $x$
답
$$\frac{d}{dx}\int_0^x \sqrt{1+t^2}\,dt = \sqrt{1+x^2}$$
적분할 수 없는 함수도 상관없습니다. 미분할 때는 그냥 상한에 대입합니다.
PART 2
FTC1 확장: 연쇄법칙 적용
핵심 직관
상한이 $x$가 아니라 $g(x)$ 같은 다른 함수면? 연쇄법칙을 써야 해!
$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t\,dt$를 구하십시오.
풀이 보기
Step 1
상한이 $x^2$입니다. FTC1에서 $f(t) = \sin t$를 상한에 대입
Step 2
상한의 미분 = $(x^2)' = 2x$를 곱하기
답
$$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t\,dt = \sin(x^2) \cdot 2x$$
$\frac{d}{dx}\int_{x}^{x^3} e^{t^2}\,dt$를 구하십시오.
풀이 보기
Step 1
양쪽 끝점이 모두 $x$의 함수입니다. 적분의 성질을 이용해서 중간점 $c$에서 쪼개자.
$$\int_x^{x^3} e^{t^2}\,dt = \int_x^c e^{t^2}\,dt + \int_c^{x^3} e^{t^2}\,dt$$
Step 2
첫 번째 적분: 상한이 $c$ (상수)이므로 하한이 $x$일 때 미분하면
$$\frac{d}{dx}\int_x^c e^{t^2}\,dt = -\int_c^x e^{t^2}\,dt$$
아닙니다. FTC1을 쓰면 하한이 변할 때 음수가 나와: $$\frac{d}{dx}\int_x^c e^{t^2}\,dt = -e^{x^2}$$
Step 3
두 번째 적분: 상한이 $x^3$
$$\frac{d}{dx}\int_c^{x^3} e^{t^2}\,dt = e^{(x^3)^2} \cdot 3x^2 = e^{x^6} \cdot 3x^2$$
답
$$\frac{d}{dx}\int_x^{x^3} e^{t^2}\,dt = -e^{x^2} + 3x^2 e^{x^6}$$
꼼꼼한 계산이 필요합니다. 특히 하한이 변할 때 음수 부호를 잊으면 안 됩니다.
시험에서 FTC1 문제가 거의 반드시 나와. 특히 상한이 $x^2$나 $\sin x$ 같은 합성함수인 문제가 단골입니다. 연쇄법칙 곱하는 것을 절대 잊어서는 안 됩니다. 그리고 하한도 함수면 쪼개서 처리하는 것을 연습해두면 정말 도움 됩니다.
PART 3
미적분학의 기본정리 2 (FTC2)
핵심 직관
정적분을 계산하려면, 역도함수를 찾아서 끝점에서의 차이만 구하면 끝입니다.
리만 합의 무한 극한을 계산할 필요 없습니다. 역도함수 하나면 됩니다.
FTC2가 왜 혁명적인지 알아? 정적분의 정의는 리만 합의 극한입니다. 그런데 FTC2 덕분에 그런 복잡한 극한을 계산할 필요가 없습니다. 그냥 역도함수를 찾고 끝점에서의 값만 구하면 끝!
$\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx$를 구하십시오.
풀이 보기
Step 1
$f(x) = 3x^2 - 4x + 1$의 역도함수를 찾아
$$F(x) = x^3 - 2x^2 + x$$
Step 2
FTC2 적용: $F(b) - F(a)$ 계산
$$F(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 2 = 8 - 8 + 2 = 2$$
$$F(0) = 0$$
답
$$\int_0^2 (3x^2-4x+1)\,dx = F(2) - F(0) = 2 - 0 = 2$$
PART 4
FTC1과 FTC2의 관계
깊은 이해
FTC1은 "적분 → 미분 = 원래 함수", FTC2는 "역도함수로 적분값 계산"입니다.
둘 다 "미분과 적분은 서로 역연산"이라는 같은 진실을 다른 각도에서 말하는 것입니다!
생각해보면 정말 신기한 것입니다. 미분과 적분이라는 두 개의 완전히 다른 연산이 서로 정확히 역관계라는 걸 증명한 것이기 때문입니다. 이게 뉴턴과 라이프니츠의 가장 큰 발견입니다.
더 깊이: FTC1에서 $g(x) = \int_a^x f(t)\,dt$라고 하면, $g'(x) = f(x)$입니다. 그러면 FTC2를 이 $g$에 적용하면?
$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b g'(x)\,dx = g(b) - g(a) = \int_a^b f(t)\,dt - \int_a^a f(t)\,dt = \int_a^b f(t)\,dt$$
이렇게 FTC1에서 FTC2가 따라나오는 것입니다.
실수 1: FTC1에서 연쇄법칙 빼먹기
$$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)$$
$$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2) \cdot 2x$$
상한이 $x$가 아니면 연쇄법칙을 꼭 곱해야 합니다.
실수 2: 적분 변수와 미분 변수 혼동
$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(x)\,dx$$
같은 $x$를 쓰면 혼동됩니다.
$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$
적분은 다른 변수 $t$ 사용!
적분 구간 내에서는 적분 변수를 사용해야 합니다. 그것이 미분하는 변수와 다를 때 비로소 FTC1을 쓸 수 있습니다.
실수 3: 하한이 x의 함수일 때 부호 처리
$$\frac{d}{dx}\int_{x^2}^{x^3} f(t)\,dt = f(x^3) \cdot 3x^2 + f(x^2) \cdot 2x$$
부호를 빼먹었어!
$$\frac{d}{dx}\int_{x^2}^{x^3} f(t)\,dt = f(x^3) \cdot 3x^2 - f(x^2) \cdot 2x$$
하한 미분은 음수!
쪼개는 거 기억해: $\int_{x^2}^{x^3} = \int_{x^2}^c + \int_c^{x^3}$. 앞 부분 미분하면 음수 나와!
PRACTICE
연습문제
1
$\frac{d}{dx}\int_2^x (t^2+1)^{10}\,dt$를 구하십시오.
H 힌트
FTC1을 바로 적용합니다. 상한이 $x$이므로 연쇄법칙은 필요 없습니다.
A 정답
$$\frac{d}{dx}\int_2^x (t^2+1)^{10}\,dt = (x^2+1)^{10}$$
2
$\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x} e^{t^2}\,dt$를 구하십시오.
H 힌트
상한이 $\sin x$입니다. 연쇄법칙으로 $(\sin x)' = \cos x$를 곱해야 합니다.
A 정답
$$\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x} e^{t^2}\,dt = e^{(\sin x)^2} \cdot \cos x = e^{\sin^2 x} \cos x$$
3
$\frac{d}{dx}\int_{x^2}^{x^3} \ln t\,dt$를 구하십시오.
H 힌트
양쪽 끝점이 모두 $x$의 함수입니다. 중간점에서 쪼개는 거 기억해야 합니다. 하한의 미분은 음수가 나옵니다!
A 정답
$$\frac{d}{dx}\int_{x^2}^{x^3} \ln t\,dt = \ln(x^3) \cdot 3x^2 - \ln(x^2) \cdot 2x = 3x^2 \ln(x^3) - 2x\ln(x^2)$$
또는 간단히:
$$= 3x^2(3\ln x) - 2x(2\ln x) = 9x^2 \ln x - 4x \ln x = (9x^2 - 4x)\ln x$$
4
$g(x) = \int_1^x \frac{1}{1+t^3}\,dt$일 때, $g'(2)$의 값을 구하십시오.
H 힌트
$g'(x)$를 FTC1로 먼저 구하고, $x=2$를 대입합니다.
A 정답
FTC1에 의해:
$$g'(x) = \frac{1}{1+x^3}$$
따라서:
$$g'(2) = \frac{1}{1+2^3} = \frac{1}{1+8} = \frac{1}{9}$$
미적분학1 · STEWART 5.5
합성함수의 미분법(연쇄법칙)을 역으로 적용한 적분 기법입니다. $u = g(x)$로 치환하면 $\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$가 성립합니다.
▶
토글
$\sin(x^2)$: 바깥 = $\sin$, 안 = $x^2$
$e^{3x+1}$: 바깥 = $e^{(\cdot)}$, 안 = $3x+1$
이게 눈에 바로 안 보이면 기초 단원 PART 5(연쇄법칙) 복습!
$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
치환적분은 이걸 거꾸로 쓰는 것입니다. $u = g(x)$로 놓으면 $du = g'(x)\,dx$.
연쇄법칙에서 치환으로
연쇄법칙 $(f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)$를 적분으로 뒤집으면:
$$\int f'(g(x))\cdot g'(x)\,dx = f(g(x)) + C$$
이게 바로 치환적분 의 정체입니다. 합성된 함수를 풀어내는 기법이지.
3단계 프로세스
u 설정: $u = $ (안쪽 함수)로 놓기du 계산: $du = $ (미분한 것)$dx$ 계산치환 및 적분: 모든 $x$를 $u$로 바꾸고 적분
풀이 보기
1단계
$u$ 설정
안쪽 함수를 $u$로 잡아:
$$u = x^2$$
3단계
치환 및 적분
$$\int 2x\cos(x^2)dx = \int \cos u\,du = \sin u + C = \sin(x^2) + C$$
풀이 보기
1단계
$u$ 설정
분모의 식을 $u$로 잡아:
$$u = 1 + x^2$$
2단계
$du$ 계산
$$du = 2x\,dx \quad \Rightarrow \quad x\,dx = \frac{1}{2}du$$
3단계
치환 및 적분
$$\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\int u^{-1/2}du$$
$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = \sqrt{u} + C = \sqrt{1+x^2} + C$$
풀이 보기
1단계
식 변형
$$\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}dx$$
2단계
$u$ 설정
분모를 $u$로 잡아:
$$u = \cos x$$
3단계
$du$ 계산
$$du = -\sin x\,dx \quad \Rightarrow \quad \sin x\,dx = -du$$
4단계
치환 및 적분
$$\int \frac{\sin x}{\cos x}dx = \int \frac{1}{u} \cdot (-du) = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C$$
또는: $= \ln|\sec x| + C$
치환적분의 핵심은 'u를 뭘로 잡느냐 '입니다. 합성함수의 안쪽을 u로 잡는 게 90%는 맞습니다. 그리고 $du$가 나머지 부분에서 나오는지 확인해야 합니다. 만약 $du$에서 남는 부분이 있으면 상수 계수로 처리하면 됩니다. 딱 맞아떨어지지 않으면 다른 함수를 u로 잡아보는 거 잊어서는 안 됩니다.
PART 3
정적분 치환 — 적분 구간 변환
풀이 보기
2단계
$du$ 계산
$$du = 3x^2\,dx \quad \Rightarrow \quad x^2\,dx = \frac{1}{3}du$$
3단계
구간 변환
$x = 0$일 때: $u = 0^3 + 1 = 1$
$x = 1$일 때: $u = 1^3 + 1 = 2$
4단계
치환 및 적분
$$\int_0^1 x^2(x^3+1)^5\,dx = \int_1^2 u^5 \cdot \frac{1}{3}du = \frac{1}{3}\int_1^2 u^5\,du$$
$$= \frac{1}{3}\left[\frac{u^6}{6}\right]_1^2 = \frac{1}{18}\left[2^6 - 1^6\right] = \frac{1}{18}(64 - 1) = \frac{63}{18} = \frac{7}{2}$$
풀이 보기
2단계
$du$ 계산
$$du = \cos x\,dx$$
3단계
구간 변환
$x = 0$일 때: $u = \sin 0 = 0$
$x = \pi/2$일 때: $u = \sin(\pi/2) = 1$
4단계
치환 및 적분
$$\int_0^{\pi/2} \cos x \sin^3 x\,dx = \int_0^1 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4}$$
구간 변환의 중요성
정적분 치환에서 구간 변환 안 하면 반드시 오답 이 됩니다. 아니면 적분 후에 다시 $x$로 되돌려야 하는데, 그건 더 복잡합니다. 정적분은 그냥 구간 함께 바꿔버리는 게 깔끔합니다.
패턴의 공통점
이 패턴들을 보면 공통점이 있습니다: 밖에 있는 게 안에 있는 것의 미분 입니다. 즉, $f(x)$를 $u$로 놓으면, 곱해져 있는 부분이 정확히 $f'(x)$가 나오는 형태입니다. 이걸 인식하면 치환적분이 훨씬 쉬워집니다.
우함수와 기함수
적분 구간이 $[-a, a]$ 형태일 때:
우함수 ($f(-x) = f(x)$): $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$기함수 ($f(-x) = -f(x)$): $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0$
치환적분 후에도 이 성질이 유지됩니다. 예를 들어 $\int_{-1}^{1}x^2 e^{-x^2}dx$는 $x^2 e^{-x^2}$이 우함수이므로 $2\int_0^1 x^2 e^{-x^2}dx$로 계산할 수 있습니다.
$\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx$ 에서 $u = x^2$로 놓으면
$$\int_0^1 e^u\,du = [e^u]_0^1 = e - 1$$
(원래 변수의 구간 $[0,1]$을 그대로 사용함)
$\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx$ 에서 $u = x^2$로 놓으면
$$\int_0^1 e^u\,du = [e^u]_0^1 = e - 1$$
(이 경우 운이 좋아서 같은 결과가 나왔지만, 일반적으로는 구간이 바뀌어!)
정적분은 항상 구간 변환을 습관처럼 하자. 혹은 정적분을 두 방법으로 계산할 수 있어: (1) 치환 후 구간 바꾸기, (2) 부정적분 구한 후 원래 변수로 대입하기.
$\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$ 에서 $u = 1 + x^2$로 놓으면
$$du = 2x\,dx$$
그런데 바로 $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\,du$라고 하면 안 됩니다.
$\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$ 에서 $u = 1 + x^2$로 놓으면
$$du = 2x\,dx \quad \Rightarrow \quad x\,dx = \frac{1}{2}du$$
그래서
$$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = \sqrt{u} + C$$
$du = \text{(something)} dx$ 형태로 쓸 때, 그 "something"의 계수를 꼭 확인해야 합니다. $du$ 전체를 적분 기호 안에 넣기 전에 $x\,dx$ (또는 다른 부분)이 $du$의 상수배인지 체크하자.
$\int x \sin(x^2)\,dx$ 에서 $u = x^2$로 놓으면
$$du = 2x\,dx$$
그런데 적분을 $\int x \sin(u)\,du$라고 하면 안 됩니다. $x$가 남아있어!
$\int x \sin(x^2)\,dx$ 에서 $u = x^2$로 놓으면
$$du = 2x\,dx \quad \Rightarrow \quad x\,dx = \frac{1}{2}du$$
모든 $x\,dx$를 $\frac{1}{2}du$로 바꾸면
$$\int \sin(u) \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\int \sin u\,du = -\frac{1}{2}\cos u + C = -\frac{1}{2}\cos(x^2) + C$$
치환 후에 적분 안에 원래 변수($x$)가 남아있으면 뭔가 잘못된 것입니다. 항상 모든 변수를 $u$로 통일해야 합니다. "적분"이라는 건 한 개의 변수에 대해서만 하는 것이기 때문입니다.
1. $\int_0^2 x\sqrt{4-x^2}\,dx$를 치환적분으로 계산하십시오.
H 힌트
루트 안의 $4 - x^2$를 $u$로 놓으면 $du = -2x\,dx$가 나옵니다. 구간도 잊지 말고 변환해야 합니다.
A 정답
풀이:
$u = 4 - x^2$로 놓으면 $du = -2x\,dx$, 즉 $x\,dx = -\frac{1}{2}du$
$x = 0$일 때 $u = 4$, $x = 2$일 때 $u = 0$
$$\int_0^2 x\sqrt{4-x^2}\,dx = \int_4^0 \sqrt{u} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)du = \frac{1}{2}\int_0^4 u^{1/2}\,du$$
$$= \frac{1}{2} \left[\frac{2u^{3/2}}{3}\right]_0^4 = \frac{1}{3}\left[4^{3/2} - 0\right] = \frac{1}{3} \cdot 8 = \frac{8}{3}$$
2. $\int \frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx$를 계산하십시오.
H 힌트
$u = \frac{1}{x}$로 놓으면 $du = -\frac{1}{x^2}dx$가 나옵니다. 음수 부호에 유의해야 합니다.
A 정답
풀이:
$u = \frac{1}{x}$로 놓으면 $du = -\frac{1}{x^2}dx$, 즉 $\frac{1}{x^2}dx = -du$
$$\int \frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx = \int e^u \cdot (-du) = -\int e^u\,du = -e^u + C = -e^{1/x} + C$$
3. $\int_0^1 \frac{x}{(1+x^2)^2}\,dx$를 계산하십시오.
H 힌트
분모의 $1 + x^2$를 $u$로 놓으면 $du = 2x\,dx$가 나와. 3단계 프로세스를 따라.
A 정답
풀이:
$u = 1 + x^2$로 놓으면 $du = 2x\,dx$, 즉 $x\,dx = \frac{1}{2}du$
$x = 0$일 때 $u = 1$, $x = 1$일 때 $u = 2$
$$\int_0^1 \frac{x}{(1+x^2)^2}\,dx = \int_1^2 \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\int_1^2 u^{-2}\,du$$
$$= \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{u}\right]_1^2 = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} + 1\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$
미적분학1 · STEWART 7.2
영역을 축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구합니다. 회전축에 수직인 단면이 원판(disk) 또는 와셔(washer) 형태가 되므로, 단면적을 적분하여 부피를 계산합니다.
▶
토글
$\pi r^2$
회전체를 수직으로 자르면 단면이 원. 그 넓이를 적분구간에 걸쳐 더하는 게 원판법.
$y = f(x)$를 $x$축 둘레로 회전시키면 3D 입체 → 단면 반지름 = $|f(x)|$.
$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$
고등학교 정적분으로 넓이를 구했다면, 여기서는 3D로 확장하는 것입니다.
PART 1
원판법 (Disk Method)
핵심 아이디어
회전체를 얇은 원판(동전)으로 자르면, 각 원판의 부피 = $\pi(\text{반지름})^2 \times \text{두께}$입니다.
구간 $[0, 4]$에서 $y = \sqrt{x}$를 x축 둘레로 회전시킨 부피를 구하십시오.
풀이 보기
1단계: 회전축 확인
x축 둘레로 회전하고, 함수가 $y = f(x)$ 형태입니다.
→ 원판법 적용 가능!
2단계: 원판 반지름
회전축이 x축이므로, 각 위치 $x$에서의 반지름은 $r(x) = \sqrt{x}$
3단계: 부피 적분식
$$V = \int_0^4 \pi (\sqrt{x})^2\,dx = \int_0^4 \pi x\,dx$$
4단계: 적분 계산
$$V = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi$$
PART 2
와셔법 (Washer Method)
핵심 아이디어
두 함수 사이의 영역을 회전하면 가운데 빈 도넛(와셔) 모양이 됩니다. 바깥쪽 부피에서 안쪽 부피를 빼면 됩니다.
$[0, 1]$에서 두 곡선 사이 영역을 x축 둘레로 회전시킨 부피를 구하십시오.
풀이 보기
1단계: 교점 확인
$x^2 = x$ ⟹ $x^2 - x = 0$ ⟹ $x(x-1) = 0$ ⟹ $x = 0$ 또는 $x = 1$
→ 구간은 $[0, 1]$
2단계: 바깥/안쪽 함수 결정
구간 $(0, 1)$에서 $x > x^2$이므로:
바깥 반지름: $R(x) = x$
안쪽 반지름: $r(x) = x^2$
3단계: 와셔법 적용
$$V = \int_0^1 \pi\left(x^2 - (x^2)^2\right)dx = \int_0^1 \pi\left(x^2 - x^4\right)dx$$
4단계: 적분 계산
$$V = \pi\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \pi \cdot \frac{2}{15} = \frac{2\pi}{15}$$
$[0, 1]$에서 두 곡선 사이 영역을 y축 둘레로 회전시킨 부피를 구하십시오.
풀이 보기
1단계: y에 대해 정리
$y = x$ ⟹ $x = y$
$y = x^2$ ⟹ $x = \sqrt{y}$
적분변수: $y$ (0부터 1까지)
2단계: 바깥/안쪽 반지름
y축 둘레 회전이므로 x값이 반지름입니다.
구간 $(0, 1)$에서 $\sqrt{y} > y$
바깥 반지름: $R(y) = \sqrt{y}$
안쪽 반지름: $r(y) = y$
3단계: 와셔법 적용
$$V = \int_0^1 \pi\left((\sqrt{y})^2 - y^2\right)dy = \int_0^1 \pi\left(y - y^2\right)dy$$
4단계: 적분 계산
$$V = \pi\left[\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$$
핵심 원리
x축이나 y축이 아닌 $x = k$ (수직선) 또는 $y = k$ (수평선) 둘레로 회전할 때: 반지름 = 함수값이 아니라 "함수와 회전축 사이의 거리"다.
구간 $[0, 1]$에서 $y = x^2$를 직선 $y = -1$ 둘레로 회전시킨 부피를 구하십시오.
풀이 보기
1단계: 회전축과의 거리 구하기
회전축이 $y = -1$이고, 함수가 $y = x^2$입니다.
거리 = 함수값 - 회전축 = $x^2 - (-1) = x^2 + 1$
2단계: 반지름 설정
이 경우 단일 함수이므로 원판법:
반지름: $r(x) = x^2 + 1$
3단계: 부피 적분식
$$V = \int_0^1 \pi(x^2 + 1)^2\,dx$$
4단계: 전개 및 적분
$(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$
$$V = \pi\int_0^1 (x^4 + 2x^2 + 1)\,dx = \pi\left[\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x\right]_0^1$$
$$= \pi\left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1\right) = \pi \cdot \frac{3 + 10 + 15}{15} = \frac{28\pi}{15}$$
시험에서 $y = 2$나 $x = -1$ 같은 축으로 회전하는 문제가 꼭 출제됩니다. 반지름 구하는 게 핵심이므로 그림을 반드시 그려 보아야 합니다. "함수와 회전축의 거리"를 계산할 때 부호를 조심해야 됩니다. 회전축이 함수 아래에 있으면 (함수값 - 회전축), 위에 있으면 (회전축 - 함수값)입니다.
PART 4
원판 vs 와셔 판단하기
선택의 기준
단일 함수 → 원판법, 두 함수 사이의 영역 → 와셔법. 회전축과 적분 방향을 먼저 정해야 합니다.
실수 1: 바깥 반지름과 안쪽 반지름 뒤바꾸기
와셔법에서는 $V = \int_a^b \pi([R(x)]^2 - [r(x)]^2)\,dx$인데, 반지름의 순서를 헷갈려서 계산하면 음수가 나와.
구간 $(0,1)$에서 $x > x^2$이므로
$$V = \int_0^1 \pi[x^2 - (x^2)^2]\,dx$$
항상 "바깥쪽 함수 - 안쪽 함수"의 순서를 지켜. 그리고 그림을 그려서 어느 곡선이 회전축에서 더 멀리 있는지 확인해야 됩니다.
실수 2: 다른 축 회전에서 반지름을 함수값으로만 쓰기
$y = k$ 또는 $x = k$ 둘레로 회전할 때, "거리"를 빼먹고 그냥 함수값을 반지름으로 사용하는 실수.
반지름 = 회전축 - 함수값 = $3 - x^2$
$$V = \int_0^1 \pi(3 - x^2)^2\,dx$$
다른 축 회전은 반드시 "회전축과 함수의 거리"를 계산해야 합니다. 부호를 조심해서 항상 양수 거리를 구해야 합니다.
실수 3: $R^2 - r^2$를 $(R - r)^2$로 계산
와셔 넓이는 $\pi(R^2 - r^2)$인데, 일반적인 식 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$과 헷갈려서 실수하기 쉬워.
올바른 식:
$$\pi([R(x)]^2 - [r(x)]^2) = \pi[R(x) + r(x)][R(x) - r(x)]$$
또는 바로 전개하면:
$$\pi([R(x)]^2 - [r(x)]^2)$$
와셔 넓이 = (바깥 원 넓이) - (안쪽 원 넓이) = $\pi R^2 - \pi r^2$입니다. $(R - r)^2$이 아니라 $R^2 - r^2$임을 명심해야 합니다.
문제 1
$y = x^3$을 x축 둘레로 구간 $[0, 1]$에서 회전시킨 부피를 구하십시오.
H 힌트
원판법을 사용합니다. $f(x) = x^3$이고, x축 둘레 회전이므로 반지름은 $r(x) = x^3$입니다.
A 정답
$$V = \int_0^1 \pi(x^3)^2\,dx = \int_0^1 \pi x^6\,dx = \pi\left[\frac{x^7}{7}\right]_0^1 = \frac{\pi}{7}$$
문제 2
$y = x$와 $y = x^2$ 사이의 영역을 x축 둘레로 회전시킨 부피를 구하십시오. (교점: $(0,0)$, $(1,1)$)
H 힌트
와셔법을 사용합니다. 구간 $(0, 1)$에서 $x > x^2$이므로 $R(x) = x$, $r(x) = x^2$.
$$V = \int_0^1 \pi(x^2 - x^4)\,dx$$
A 정답
$$V = \int_0^1 \pi(x^2 - x^4)\,dx = \pi\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$$
문제 3
$y = \sqrt{x}$를 직선 $y = 2$ 둘레로 구간 $[0, 4]$에서 회전시킨 부피를 구하십시오.
H 힌트
원판법을 사용합니다. 회전축이 $y = 2$이고, 함수가 $y = \sqrt{x}$이므로 거리(반지름)는:
$$r(x) = |2 - \sqrt{x}| = 2 - \sqrt{x}$$ (구간 $[0,4]$에서 $\sqrt{x} \leq 2$)
A 정답
$$V = \int_0^4 \pi(2 - \sqrt{x})^2\,dx = \int_0^4 \pi(4 - 4\sqrt{x} + x)\,dx$$
$$= \pi\left[4x - 4 \cdot \frac{2x^{3/2}}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi\left(16 - \frac{32}{3} + 8\right) = \pi\left(24 - \frac{32}{3}\right) = \frac{40\pi}{3}$$
미적분학1 · STEWART 7.3
회전축에 평행한 얇은 원통형 껍질(shell)의 부피를 적분하는 방법입니다. 원판법으로 적분 설정이 어려운 경우에 유효합니다.
▶
토글
$2\pi r \cdot h$ (둘레 × 높이)
껍질법 = 회전체를 얇은 원통 껍질로 벗겨내서 넓이를 다 더하는 방법.
원판법 : 회전축에 수직으로 자름 → 단면 = 원
껍질법 : 회전축에 평행하게 자름 → 얇은 원통 껍질
어떤 문제에서는 원판이 편하고 어떤 문제에서는 껍질이 편합니다. 결과는 같아.
종이를 원통 모양으로 말면 → 얇은 원통 껍질
이걸 안에서부터 겹겹이 쌓으면 회전체가 됩니다. 각 원통 껍질의 부피는 어떻게 구할까?
반지름이 $r$이고 높이가 $h$, 두께가 $\Delta x$인 원통 껍질을 펼쳐보면 직육면체처럼 생각할 수 있어:
(부피) ≈ (둘레) × (높이) × (두께) = $2\pi r \cdot h \cdot \Delta x$
핵심: "적분 변수의 축"과 "회전축"이 수직일 때 껍질법!
y축 회전 → x로 적분 | x축 회전 → y로 적분
풀이 보기
설정: 반지름 = $x$, 높이 = $f(x) = x^2$
1단계
껍질법 공식에 대입
$$V = \int_0^1 2\pi x \cdot x^2\,dx$$
2단계
정리
$$V = 2\pi\int_0^1 x^3\,dx$$
3단계
적분 계산
$$\int_0^1 x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4}$$
답
$$V = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$$
풀이 보기
설정: 반지름 = $x$, 높이 = $f(x) - g(x) = x - x^2$
1단계
어느 함수가 위에 있나? $x \in [0,1]$에서 $x > x^2$ ✓
2단계
껍질법 적용
$$V = \int_0^1 2\pi x(x - x^2)\,dx$$
3단계
분배법칙
$$V = 2\pi\int_0^1 (x^2 - x^3)\,dx$$
4단계
적분
$$\int_0^1 (x^2 - x^3)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$
답
$$V = 2\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}$$
껍질법에서 반지름은 회전축까지의 거리, 높이는 함수값입니다. 이 두 가지만 정확히 잡으면 반은 푼 것입니다. 틀리는 학생들 보면 대부분 "반지름이 뭐지?"를 헷갈립니다. 항상 "어디가 회전축인가?" 먼저 생각합니다.
y축이나 x축이 아닌 다른 축 ($x = k$ 또는 $y = k$) 둘레로 회전할 때를 보자.
풀이 보기
설정: 회전축 = $x = 2$
주의: $x \in [0,1]$이므로 $x < 2$ → 반지름 = $2 - x$
1단계
반지름 확인
반지름 = $|x - 2| = 2 - x$
2단계
높이 확인
높이 = $f(x) = x - x^2$
3단계
공식에 대입
$$V = \int_0^1 2\pi(2-x)(x-x^2)\,dx$$
4단계
전개
$$V = 2\pi\int_0^1 (2-x)(x-x^2)\,dx$$
$$= 2\pi\int_0^1 (2x - 2x^2 - x^2 + x^3)\,dx$$
$$= 2\pi\int_0^1 (2x - 3x^2 + x^3)\,dx$$
5단계
적분
$$\int_0^1 (2x - 3x^2 + x^3)\,dx = \left[x^2 - x^3 + \frac{x^4}{4}\right]_0^1$$
$$= 1 - 1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$
답
$$V = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$$
PART 4
원판법 vs 껍질법 — 어떤 걸 쓸까?
언제 껍질법이 더 쉬울까?
$y = f(x)$ 형태를 $x = g(y)$ 형태로 변환하기 어려울 때
두 함수 사이의 영역을 다루는데, 위아래가 복잡하게 바뀔 때
원판법으로 하면 와셔의 내반지름/외반지름을 구하기 복잡할 때
비교 풀이
방법 1: 껍질법 (x로 적분)
1단계
공식 적용
$$V = \int_0^4 2\pi x \cdot \sqrt{x}\,dx = 2\pi\int_0^4 x^{3/2}\,dx$$
2단계
적분 계산
$$\int x^{3/2}\,dx = \frac{2}{5}x^{5/2}$$
$$\left[\frac{2}{5}x^{5/2}\right]_0^4 = \frac{2}{5} \cdot 32 = \frac{64}{5}$$
답
$$V = 2\pi \cdot \frac{64}{5} = \frac{128\pi}{5}$$
방법 2: 원판법 (y로 적분)
1단계
역함수 구하기
$y = \sqrt{x}$ → $x = y^2$
범위: $x \in [0,4]$ → $y \in [0,2]$
2단계
와셔법 공식 — y축 회전이므로 외반지름 = 4, 내반지름 = $y^2$
$$V = \int_0^2 \pi\bigl(4^2 - (y^2)^2\bigr)\,dy = \pi\int_0^2 (16 - y^4)\,dy$$
3단계
적분 계산
$$\pi\left[16y - \frac{y^5}{5}\right]_0^2 = \pi\left(32 - \frac{32}{5}\right) = \pi \cdot \frac{128}{5}$$
답
$$V = \frac{128\pi}{5}$$
→ 껍질법과 와셔법 모두 $\frac{128\pi}{5}$로 일치!
핵심: y축 회전에서 와셔법을 쓸 때, 영역의 오른쪽 경계($x=4$)가 외반지름이 됩니다. 내반지름만 $y^2$로 두고 외반지름을 빠뜨리면 $\frac{32\pi}{5}$라는 잘못된 답이 나옵니다.
원판법에서는 $V = \pi r^2 h$인데, 껍질법은 왜 $2\pi$지?
$V = \int 2\pi x \cdot f(x)\,dx$ (원통의 둘레 = $2\pi r$!)
팁: 껍질법은 "둘레 × 높이 × 두께"이므로 $2\pi$는 필수. 원판법과 다르다고 기억합니다.
어떤 게 반지름이고 어떤 게 높이일까?
$V = \int 2\pi x \cdot f(x)\,dx$ (반지름 $x$, 높이 $f(x)$)
팁: "적분 변수"가 반지름입니다. y축 회전 → x가 반지름, x축 회전 → y가 반지름.
$x = k$ 축 회전할 때 반지름이 항상 $x$가 아닙니다.
$x = 3$ 축 회전 → 반지름 = $|x - 3|$ (축까지의 거리)
팁: 반지름은 항상 "회전축까지의 거리"다. 공식: 반지름 = $|$ (적분 변수) $-$ (회전축) $|$
1
$y = \sin x$ ($x \in [0, \pi]$)를 y축 중심으로 회전할 때, 껍질법으로 부피를 구하십시오.
H 힌트
반지름 = $x$, 높이 = $\sin x$
공식: $V = \int_0^{\pi} 2\pi x \sin x\,dx$
부분적분을 사용해야 합니다.
A 정답
풀이:
$$V = \int_0^{\pi} 2\pi x \sin x\,dx$$
부분적분: $u = x$, $dv = \sin x\,dx$
$du = dx$, $v = -\cos x$
$$\int x \sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x$$
$$\left[-x\cos x + \sin x\right]_0^{\pi} = (-\pi(-1) + 0) - (0 + 0) = \pi$$
$$V = 2\pi \cdot \pi = 2\pi^2$$
2
$y = x^2$와 $y = 4$ 사이의 영역을 y축 중심으로 회전할 때, 껍질법으로 부피를 구하십시오.
H 힌트
먼저 교점을 구하면: $x^2 = 4$ → $x = 2$ (양수 범위)
높이 = $4 - x^2$
$V = \int_0^2 2\pi x(4 - x^2)\,dx$
A 정답
풀이:
교점: $x^2 = 4$ → $x = 2$ (대칭이므로 $[0, 2]$에서만 계산)
높이 = $4 - x^2$, 반지름 = $x$
$$V = \int_0^2 2\pi x(4 - x^2)\,dx = 2\pi\int_0^2 (4x - x^3)\,dx$$
$$= 2\pi\left[2x^2 - \frac{x^4}{4}\right]_0^2$$
$$= 2\pi\left(8 - 4\right) = 8\pi$$
$$V = 8\pi$$
3
$y = x^2$ ($x \in [0, 2]$)를 $x = -1$ 축 둘레로 회전할 때, 부피를 구하십시오. (반지름 계산 주의!)
H 힌트
회전축: $x = -1$
$x \in [0, 2]$이므로 $x > -1$ 항상 성립
반지름 = $x - (-1) = x + 1$
$V = \int_0^2 2\pi(x+1) \cdot x^2\,dx$
A 정답
풀이:
회전축 $x = -1$까지의 거리: 반지름 = $x - (-1) = x + 1$
높이 = $x^2$
$$V = \int_0^2 2\pi(x+1) \cdot x^2\,dx = 2\pi\int_0^2 (x^3 + x^2)\,dx$$
$$= 2\pi\left[\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_0^2$$
$$= 2\pi\left(4 + \frac{8}{3}\right) = 2\pi \cdot \frac{20}{3} = \frac{40\pi}{3}$$
$$V = \frac{40\pi}{3}$$
미적분학1 · STEWART 6.6
적분 구간이 무한이거나 피적분함수가 구간 내에서 불연속인 경우를 이상적분이라 합니다. 극한으로 정의하며, 수렴·발산 판정이 핵심입니다.
▶
토글
$\infty$는 숫자가 아니라 "한없이 커집니다"는 상태. $\int_1^{\infty}$은 끝없이 가면서 적분하는 것입니다.
수렴 : 값이 어떤 숫자로 수렴 → 답 존재
발산 : 값이 끝없이 커짐 → 답 없음
$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx = 1$ (수렴) vs $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \infty$ (발산)
$\frac{1}{x^2}$는 빠르게 0으로 → 넓이 유한. $\frac{1}{x}$는 느리게 줄어서 → 넓이 무한.
• Type I : 적분 구간이 $\pm\infty$까지 감
• Type II : 구간 안에서 함수가 $\infty$로 폭발
PART 1
Type I — 무한 구간의 이상적분
핵심 아이디어
$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx$ 같이 적분 구간이 무한대인 경우를 어떻게 정의할까? 극한으로 접근해야 합니다.
풀이 보기
1단계: 정의 적용
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx = \lim_{t\to\infty}\int_1^t \frac{1}{x^2}dx$$
2단계: 부정적분 계산
$$\int \frac{1}{x^2}dx = -\frac{1}{x} + C$$
3단계: 정적분 계산
$$\int_1^t \frac{1}{x^2}dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^t = -\frac{1}{t} - (-1) = 1 - \frac{1}{t}$$
4단계: 극한 계산
$$\lim_{t\to\infty}\left(1 - \frac{1}{t}\right) = 1 - 0 = 1$$
극한이 유한하므로 수렴하고, 값은 1입니다.
풀이 보기
1단계: 정의 적용
$$\int_1^\infty \frac{1}{x}dx = \lim_{t\to\infty}\int_1^t \frac{1}{x}dx$$
2단계: 정적분 계산
$$\int_1^t \frac{1}{x}dx = [\ln x]_1^t = \ln t - \ln 1 = \ln t$$
3단계: 극한 계산
$$\lim_{t\to\infty} \ln t = \infty$$
극한이 무한대이므로 발산합니다.
풀이 보기
1단계: 정의 적용
$$\int_0^\infty e^{-x}dx = \lim_{t\to\infty}\int_0^t e^{-x}dx$$
2단계: 부정적분 계산
$$\int e^{-x}dx = -e^{-x} + C$$
3단계: 정적분 계산
$$\int_0^t e^{-x}dx = \left[-e^{-x}\right]_0^t = -e^{-t} - (-1) = 1 - e^{-t}$$
4단계: 극한 계산
$$\lim_{t\to\infty}\left(1 - e^{-t}\right) = 1 - 0 = 1$$
수렴하고, 값은 1입니다.
왜 이런 일이 일어날까?
$p > 1$이면 함수 $\frac{1}{x^p}$가 충분히 빨리 줄어들어서, 무한히 넓어지는 구간에도 불구하고 넓이가 유한해집니다. 반면 $p \le 1$이면 함수가 천천히 줄어들어서 무한 구간에서의 넓이가 무한대가 됩니다. 이건 급수의 p-판정법과 완전히 같은 원리입니다.
p-test는 미적분 시험에서 매우 자주 출제됩니다. 특히 비교판정법의 비교 대상으로 $\frac{1}{x^p}$를 쓰는 문제가 단골입니다. p-test를 확실히 숙지하고 $p=1$이 경계라는 점을 기억해야 합니다.
PART 3
Type II — 불연속점에서의 이상적분
핵심 아이디어
$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$ 같이 피적분함수가 구간 내에서 발산하는 경우를 어떻게 정의할까? 불연속점에 접근하는 극한으로 처리해야 합니다.
풀이 보기
1단계: 불연속점 확인
$x=0$에서 $\frac{1}{\sqrt{x}} \to \infty$. 불연속점은 왼쪽 끝점입니다.
2단계: 정의 적용
$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim_{t\to 0^+}\int_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$$
3단계: 부정적분 계산
$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \int x^{-1/2}dx = 2x^{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$$
4단계: 정적분 계산
$$\int_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = [2\sqrt{x}]_t^1 = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{t} = 2 - 2\sqrt{t}$$
5단계: 극한 계산
$$\lim_{t\to 0^+}(2 - 2\sqrt{t}) = 2 - 0 = 2$$
극한이 유한하므로 수렴하고, 값은 2다.
풀이 보기
1단계: 불연속점 확인
$x=1$에서 $\frac{1}{(x-1)^2} \to \infty$. 불연속점이 구간 $(0,3)$ 내부에 있어!
2단계: 적분 쪼개기
$$\int_0^3 \frac{1}{(x-1)^2}dx = \int_0^1 \frac{1}{(x-1)^2}dx + \int_1^3 \frac{1}{(x-1)^2}dx$$
각각을 이상적분으로 처리해야 합니다.
3단계: 첫 번째 적분
$$\int_0^1 \frac{1}{(x-1)^2}dx = \lim_{t\to 1^-}\int_0^t \frac{1}{(x-1)^2}dx$$
부정적분: $\int \frac{1}{(x-1)^2}dx = -\frac{1}{x-1} + C$
$$\int_0^t \frac{1}{(x-1)^2}dx = \left[-\frac{1}{x-1}\right]_0^t = -\frac{1}{t-1} + 1$$
$$\lim_{t\to 1^-}\left(-\frac{1}{t-1} + 1\right) = \lim_{t\to 1^-}\left(-\frac{1}{t-1}\right) + 1 = +\infty$$
첫 번째 적분이 발산합니다.
4단계: 결론
첫 번째 부분이 이미 발산하므로 전체 적분도 발산합니다. (두 번째 부분은 계산할 필요가 없다)
PART 4
비교판정법과 극한 비교판정법
풀이 보기
1단계: 부등식 세우기
$x \ge 1$일 때, $x^2 + 1 > x^2$이므로
$$\frac{1}{x^2+1} < \frac{1}{x^2}$$
2단계: 비교 함수의 수렴성 확인
p-test에 의해 $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx$는 수렴합니다. ($p=2 > 1$)
3단계: 비교판정법 적용
$0 \le \frac{1}{x^2+1} < \frac{1}{x^2}$이고 $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx$가 수렴하므로, 비교판정법에 의해
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2+1}dx \text{는 } \mathbf{수렴합니다.}$$
풀이 보기
1단계: 비교 함수 선택
$x$가 클 때, $\frac{x}{x^3+1} \approx \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2}$로 보여. 따라서 $g(x) = \frac{1}{x^2}$와 비교합니다.
2단계: 극한 계산
$$\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x}{x^3+1}}{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{x \cdot x^2}{x^3+1} = \lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x^3+1}$$
분자분모를 $x^3$으로 나누면:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x^3}} = \frac{1}{1+0} = 1$$
극한값이 $1$ (양수이고 유한)입니다.
3단계: 극한비교판정법 적용
$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx$는 p-test에 의해 수렴 ($p=2>1$)하므로, 극한비교판정법에 의해
$$\int_1^\infty \frac{x}{x^3+1}dx \text{는 } \mathbf{수렴합니다.}$$
$\int_0^2 \frac{1}{x-1}dx$를 계산할 때, $x=1$에서 불연속이라는 걸 놓치고 다음처럼 계산하는 경우:
$$\int_0^2 \frac{1}{x-1}dx = [\ln|x-1|]_0^2 = \ln|1| - \ln|{-1}| = 0 - 0 = 0$$
이것은 잘못된 접근입니다.
$x=1$에서 불연속이므로 쪼개야 합니다:
$$\int_0^2 \frac{1}{x-1}dx = \int_0^1 \frac{1}{x-1}dx + \int_1^2 \frac{1}{x-1}dx$$
첫 번째: $\lim_{t\to 1^-}\int_0^t \frac{1}{x-1}dx = \lim_{t\to 1^-}[\ln|x-1|]_0^t = \lim_{t\to 1^-}(\ln|t-1| - \ln 1) = -\infty$
발산합니다. (두 번째도 발산하므로 전체 적분은 발산)
항상 적분 구간과 피적분함수를 보고 불연속점이 있는지 먼저 확인해야 합니다. 불연속점이 있으면 반드시 쪼개서 이상적분으로 처리해야 합니다.
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx$를 계산할 때 다음처럼 하는 경우:
(Cauchy Principal Value):
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}dx = \lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t} \frac{1}{1+x^2}dx$$
이건 이상적분이 아니라 코시 주치값(Cauchy Principal Value)입니다. 같은 속도로 양쪽에서 접근할 때만 유효합니다.
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^2}dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}dx$$
각각:
$$\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^2}dx = \lim_{t\to -\infty}\int_t^{0} \frac{1}{1+x^2}dx = \lim_{t\to -\infty}[\arctan x]_t^{0} = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$$
$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}dx = \lim_{t\to \infty}\int_0^{t} \frac{1}{1+x^2}dx = \lim_{t\to \infty}[\arctan x]_0^{t} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$$
따라서 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}dx = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$
$\int_{-\infty}^{\infty}$ 형태는 항상 어떤 점 $c$를 기준으로 쪼개서 양쪽을 독립적으로 처리해야 합니다. 양쪽이 모두 수렴해야 전체가 수렴합니다.
비교판정법을 잘못 기억해서 부등호 방향을 거꾸로 적용하는 경우:
"$\frac{1}{x^2+1} < \frac{1}{x^2}$이고 $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx$가 수렴하므로. 어? 뭐지?"
혹은 "$\frac{1}{x^2+1} < \frac{1}{x^2}$인데 $\frac{1}{x^2}$가 발산하므로 $\frac{1}{x^2+1}$도 발산합니까?"
이건 논리 오류입니다.
올바른 부등호 원칙:
**큰 쪽이 수렴하면 작은 쪽도 수렴:** $f \le g$이고 $\int g$ 수렴 ⟹ $\int f$ 수렴
**작은 쪽이 발산하면 큰 쪽도 발산:** $f \le g$이고 $\int f$ 발산 ⟹ $\int g$ 발산
"그래프의 위쪽이 유한한 넓이면, 아래쪽도 유한합니다"라고 생각하면 됩니다.
부등호 방향이 헷갈리면 이렇게 기억합니다: "작은 것이 발산하거나, 큰 것이 수렴할 때만 결론이 나옵니다." 반대 상황은 정보를 주지 못합니다.
1
$\int_2^\infty \frac{1}{x\ln x}dx$의 수렴/발산을 판정하고, 수렴하면 값을 구하십시오. (치환 사용)
H 힌트
$u = \ln x$로 치환하면 $du = \frac{1}{x}dx$. 그러면
$$\int \frac{1}{x\ln x}dx = \int \frac{1}{u}du = \ln|u| + C = \ln|\ln x| + C$$
A 정답
$$\int_2^\infty \frac{1}{x\ln x}dx = \lim_{t\to\infty}\int_2^t \frac{1}{x\ln x}dx$$
$u = \ln x$로 치환하면 $du = \frac{1}{x}dx$이고, $x=2$일 때 $u=\ln 2$, $x=t$일 때 $u=\ln t$:
$$\int_2^t \frac{1}{x\ln x}dx = \int_{\ln 2}^{\ln t} \frac{1}{u}du = [\ln u]_{\ln 2}^{\ln t} = \ln(\ln t) - \ln(\ln 2)$$
극한:
$$\lim_{t\to\infty}[\ln(\ln t) - \ln(\ln 2)] = \infty$$
발산합니다.
2
$\int_0^1 \frac{1}{x^{2/3}}dx$를 계산하십시오. (Type II 이상적분)
H 힌트
$x=0$에서 불연속입니다. 극한으로 접근해야 합니다.
$$\int_0^1 \frac{1}{x^{2/3}}dx = \lim_{t\to 0^+}\int_t^1 x^{-2/3}dx$$
$\int x^{-2/3}dx = \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3x^{1/3} + C$
A 정답
$x=0$에서 불연속이므로:
$$\int_0^1 \frac{1}{x^{2/3}}dx = \lim_{t\to 0^+}\int_t^1 x^{-2/3}dx$$
부정적분:
$$\int x^{-2/3}dx = \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3x^{1/3} + C$$
정적분:
$$\int_t^1 x^{-2/3}dx = [3x^{1/3}]_t^1 = 3 \cdot 1 - 3t^{1/3} = 3 - 3t^{1/3}$$
극한:
$$\lim_{t\to 0^+}(3 - 3t^{1/3}) = 3 - 0 = 3$$
수렴하고, 값은 3입니다.
3
$\int_1^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2}dx$의 수렴/발산을 판정하십시오. (비교판정법 사용)
H 힌트
$\sin^2 x$의 범위를 생각해 보십시오. $0 \le \sin^2 x \le 1$입니다. 그러면
$$\frac{\sin^2 x}{x^2} \le \frac{1}{x^2}$$
비교 함수는 무엇일까?
A 정답
$0 \le \sin^2 x \le 1$이므로, $x \ge 1$일 때:
$$\frac{\sin^2 x}{x^2} \le \frac{1}{x^2}$$
p-test에 의해 $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx$는 수렴 ($p=2>1$).
비교판정법에 의해:
$$\int_1^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2}dx \text{는 } \mathbf{수렴합니다.}$$
미적분학1 · 시험 D-3 생존 가이드
시험 직전 최종 점검용. 각 단원의 핵심 공식과 자주 출제되는 유형을 정리합니다.
중간고사 생존 공식
시험 전 공부는 수학의 진실 전체를 정복하는 일이 아니라, 지금 점수를 만드는 지식의 계층을 올바르게 분류하는 일 입니다.
"다 이해하고 시작해야지" 모드로 가다가 끝없이 밀리는 거, 꽤 흔하고 안타까운 일입니다. 성실함이 오히려 발목을 잡는 방식입니다. 방향이 있는 노력을 해야 합니다.
👆 카드를 눌러서 공식을 확인해야 합니다. 보기 전에 먼저 머릿속으로 떠올려봐.
$$(c)' = 0$$
상수는 변하지 않으므로 변화율 = 0
$$(x^n)' = nx^{n-1}$$
지수를 앞으로 내리고, 지수에서 1을 빼. 가장 많이 쓰는 공식.
$$(e^x)' = e^x$$
미분해도 자기 자신. 세상에서 유일한 함수. 그래서 $e$가 특별합니다.
$$(a^x)' = a^x \ln a$$
$e^x$에 $\ln a$가 붙는다고 생각하면 됩니다.
$$(\ln x)' = \frac{1}{x}$$
$\log_a x$이면 $\frac{1}{x \ln a}$. 자연로그는 $\ln a = 1$이라 깔끔.
$$(\sin x)' = \cos x$$
사인 → 코사인. 부호 그대로.
$$(\cos x)' = -\sin x$$
코사인 → 마이너스 사인. 부호 조심!
$$(\tan x)' = \sec^2 x$$
시험에 정말 자주 나옵니다.
외워 $\sec x$, $\csc x$, $\cot x$의 미분은?
탭해서 확인
$$(\sec x)' = \sec x \tan x$$
$$(\csc x)' = -\csc x \cot x$$
$$(\cot x)' = -\csc^2 x$$
co-가 붙은 함수($\cos, \csc, \cot$)는 미분하면 마이너스가 붙습니다.
$$(fg)' = f'g + fg'$$
앞미분 × 뒤그대로 + 앞그대로 × 뒤미분
$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$
분모² 분의 (위미분 × 아래 - 위 × 아래미분). 빼기 순서 조심.
$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
겉미분 × 안미분. 합성함수면 무조건 이것부터.
👆 적분은 미분의 역방향. 짝으로 기억하면 빠릅니다.
외워 $\int x^n\,dx$ = ?
탭해서 확인
$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$
미분의 거꾸로: 지수 1 올리고, 올린 지수로 나눠.
외워 $\int \frac{1}{x}\,dx$ = ?
탭해서 확인
$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$
절대값! $x < 0$일 때도 정의되려면 $|x|$가 필수.
외워 $\int e^x\,dx$ = ?
탭해서 확인
$$\int e^x\,dx = e^x + C$$
미분해도 자기자신 → 적분해도 자기자신. $e$의 매력.
외워 $\int a^x\,dx$ = ?
탭해서 확인
$$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$
미분할 때 $\ln a$가 곱해졌으니, 적분할 때는 나눠.
$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C$$
$$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C \qquad \int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$$
$$\int \sec x \tan x\,dx = \sec x + C \qquad \int \csc x \cot x\,dx = -\csc x + C$$
미분 공식 표와 짝으로 대조하면 바로 나옵니다.
$$u = g(x), \quad du = g'(x)\,dx$$
$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$$
연쇄법칙의 역방향. 합성함수 구조를 되감는 과정입니다.
외워 $\tan, \sec, \csc, \cot$의 기본 관계
탭해서 확인
$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \qquad \sec x = \frac{1}{\cos x}$$
$$\csc x = \frac{1}{\sin x} \qquad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$
$\sin$과 $\cos$만 알면 나머지는 전부 만들 수 있습니다.
$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$
$$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$$
$$1 + \cot^2 x = \csc^2 x$$
첫 번째만 외우면 나머지는 $\cos^2 x$로 나누거나 $\sin^2 x$로 나누면 유도 가능.
① 양변을 $x$에 대해 미분
② $y$를 미분하면 $\frac{dy}{dx}$가 붙습니다
③ $\frac{dy}{dx}$를 정리합니다
예: $x^2 + y^2 = 1$ → $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$ → $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
$$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$$
$x = a$ 근처에서 함수를 접선으로 대체합니다.
① $\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴인지 확인
② 분자 · 분모 각각 미분
③ 다시 극한 계산 (반복 가능)
"이건 로피탈 후보인가?"를 먼저 떠올릴 수 있어야 합니다.
$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
영어단어처럼 외워. 공식을 기억 못 하면 시작도 못 합니다.
이해 미적분학의 기본정리 (FTC)
탭해서 확인
$$F'(x) = f(x) \quad \Rightarrow \quad \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$
미분과 적분은 역연산. 역도함수를 찾으면 정적분은 뺄셈 한 번이면 끝.
$$V = \pi \int_a^b [R(x)]^2\,dx$$
와셔: $V = \pi \int_a^b \bigl([R(x)]^2 - [r(x)]^2\bigr)\,dx$
회전축에 수직으로 자르면 원(또는 고리)이 보입니다.
$$V = 2\pi \int_a^b (\text{반지름})(\text{높이})\,dx$$
회전축에 평행하게 잘라서 원통 껍질을 벗겨내는 방식.
PART 7
꼭 이해해야 하는 9가지
외우는 것과 이해하는 것은 다릅니다
공식을 외웠으면 절반입니다. 아래 9가지를 이해해야 유형이 비틀려도 버팁니다.
이해 1. 합성함수 구조를 보는 눈
탭해서 확인
$\ln(3x^2+1)$을 보면 바깥($\ln$)과 안쪽($3x^2+1$)이 바로 나뉘어 보이는가?
이게 안 되면 연쇄법칙, 치환적분 모두 막힙니다.
미분이 "접선 기울기 = 순간변화율"이라는 뜻을 말할 수 있는가?
정적분이 "잘게 쪼개서 더한 총량"이라는 뜻을 아는가?
이해 4. 기본정리: 미분 ↔ 적분
탭해서 확인
미분과 적분이 왜 역연산인지 한 문장으로 설명할 수 있는가?
"미분은 순간변화율, 적분은 변화율의 누적. 되감기와 재생 관계."
5. 음함수 — $y = f(x)$ 꼴이 아니어도 미분할 수 있습니다
6. 선형근사 — 복잡한 함수를 접선으로 대체하는 이유
7. 치환 = 연쇄법칙 역방향
8. 회전체 = 뭘 잘라서 더하나 (원판 vs 껍질)
9. 이상적분 — 적분값이 존재하지 않을 수 있다는 감각
PRACTICE
셀프 체크
미적분학1 · 시험 전략
⚔️ 행동영역(Action Domain) 시스템 진입 조건 → 도구 장착 → 실행 시퀀스 → 탈출 조건 으로 구성된 풀이 운영체제 다."지금 어떤 영역으로 들어가야 하지?" 를 묻습니다.
🗺️ 미분 10개 + 적분 8개 영역 → 진입 조건 감지 → 도구 장착 → 실행 → 분기/탈출 → 전환 맵
PART 1 — 미분 행동영역 (10개)
진입 조건 TRIGGER
$\lim$ 기호 존재
대입하면 $\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$
분모가 0이 되는 식
진입 확인 VALIDATION
실제로 대입해서 부정형 확인
$\frac{0}{0}$인지 $\frac{\infty}{\infty}$인지 분류
장착 도구 TOOLKIT
인수분해
유리화 (conjugate)
통분
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
로피탈 (→ 영역 5)
실행 시퀀스 PROCEDURE
분자·분모를 각각 인수분해 시도. 공통 인수 $(x-a)$ 약분.
인수분해 안 되면 → 유리화(루트가 있을 때) 또는 통분(분수 합일 때)
여전히 부정형이면 → 영역 5 (로피탈 고속도로) 로 전환.
금지 행동 ANTI-PATTERN
대입도 안 해보고 바로 로피탈 쓰기 — 부정형 확인이 먼저다
$\frac{0}{0}$이 아닌 $\frac{k}{0}$ (k≠0)에 로피탈 적용 — 이건 $\pm\infty$이다
탈출 조건 EXIT
대입 결과가 부정형이 아님 → 그냥 대입값이 답
삼각함수 극한 → 영역 2 (샌드위치 포위전) 검토
문제: $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$
① 대입: $\frac{9-9}{3-3}=\frac{0}{0}$ → 부정형 확정, 이 영역 맞다
② 분자 인수분해: $x^2-9=(x-3)(x+3)$
③ 약분: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$
④ 대입: $3+3=\boxed{6}$
진입 조건 TRIGGER
$\sin$, $\cos$ 곱해진 식에 $\lim$
진동하는 함수 × 0으로 가는 함수
$x\sin\frac{1}{x}$ 류의 패턴
진입 확인 VALIDATION
직접 극한을 계산하기 어렵다 (진동 때문)
위·아래 경계를 잡을 수 있다
장착 도구 TOOLKIT
$-1\le\sin(\cdot)\le 1$
$-1\le\cos(\cdot)\le 1$
$|\sin(\cdot)|\le 1$
양변에 같은 함수 곱하기
실행 시퀀스 PROCEDURE
진동 부분을 분리합니다: $f(x)\cdot g(x)$ 형태로. $g(x)$가 진동.
진동 부분에 부등식을 세웁니다: $-1 \le g(x) \le 1$.
양변에 $f(x)$ 곱합니다. ($f(x) \ge 0$이면 부등호 유지, 아니면 뒤집기).
양쪽 끝의 극한을 각각 구합니다. 같으면 → 가운데도 그 값.
금지 행동 ANTI-PATTERN
진동 함수에 직접 극한을 때려넣기 — $\lim \sin\frac{1}{x}$는 존재하지 않는다
$f(x)$가 음수일 때 부등호 안 뒤집기
탈출 조건 EXIT
양쪽 극한이 다르면 → 샌드위치 실패. 영역 1 재검토
문제: $\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}$
① 분리: $f(x)=x^2$, $g(x)=\sin\frac{1}{x}$ (진동)
② $-1\le\sin\frac{1}{x}\le 1$
③ $-x^2\le x^2\sin\frac{1}{x}\le x^2$ ($x^2 \ge 0$이므로 부등호 유지)
④ $\lim_{x\to 0}(-x^2)=0$, $\lim_{x\to 0}x^2=0$ → 같습니다! → $\boxed{0}$
진입 조건 TRIGGER
"$\epsilon$-$\delta$ 정의를 이용하여 증명" 문구
"극한의 정의로 보여라"
$\forall\epsilon>0,\;\exists\delta>0$ 패턴
장착 도구 TOOLKIT
$|f(x)-L|<\epsilon$
$0<|x-a|<\delta$
역추적: $|f(x)-L|$를 $|x-a|$로 변환
$\delta=\min(1,\frac{\epsilon}{M})$ 패턴
실행 시퀀스 PROCEDURE
[역추적] $|f(x)-L|$를 전개해서 $|x-a|$의 식으로 만듭니다.
나머지 인수를 상수로 바운드합니다. ($|x-a|<1$이면 $|x|<|a|+1$ 등)
$\delta=\min\!\big(1,\;\frac{\epsilon}{M}\big)$ 형태로 $\delta$를 설정합니다.
[순방향 증명] "임의의 $\epsilon>0$이 주어졌을 때 $\delta=$…로 놓으면" → $|f(x)-L|<\epsilon$ 보이기.
금지 행동 ANTI-PATTERN
역추적 과정을 답안에 그대로 쓰기 — 답안은 반드시 순방향으로 쓴다
$\delta$에 $\epsilon$이 안 들어가기 — $\delta$는 $\epsilon$의 함수여야 한다
탈출 조건 EXIT
"극한값을 구하라" (증명이 아닌 계산) → 영역 1
문제: $\epsilon$-$\delta$ 정의로 $\lim_{x\to 2}(3x+1)=7$을 증명하라
① 역추적: $|f(x)-L|=|(3x+1)-7|=|3x-6|=3|x-2|$
② $3|x-2|<\epsilon$ 이려면 $|x-2|<\frac{\epsilon}{3}$
③ $\delta=\frac{\epsilon}{3}$으로 설정
④ 순방향: $0<|x-2|<\delta=\frac{\epsilon}{3}$이면 $|3x+1-7|=3|x-2|<3\cdot\frac{\epsilon}{3}=\epsilon$ $\;\blacksquare$
진입 조건 TRIGGER
"연속인지 판별", "불연속점을 찾아라"
구간별 정의 함수 (piecewise)
"$a$의 값을 구하라" + 연속 조건
장착 도구 TOOLKIT
3대 조건: ① $f(a)$ 존재 ② $\lim_{x\to a}f(x)$ 존재 ③ 둘이 같음
좌극한 = 우극한
중간값 정리 (IVT)
실행 시퀀스 PROCEDURE
관문 ①: $f(a)$가 정의되는가? 분모=0, 로그 안에 0 등 체크.
관문 ②: $\lim_{x\to a^-}f(x)$와 $\lim_{x\to a^+}f(x)$ 각각 계산.
좌극한 ≠ 우극한 → 극한 자체 존재X → 불연속 확정 (점프 불연속)
관문 ③: $\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$인가?
같으면 연속. 다르면 제거 가능 불연속.
"$a$값 구하기" 문제면: 관문 ②③을 등식으로 놓고 $a$에 대해 풀기.
금지 행동 ANTI-PATTERN
관문 ①을 건너뛰기 — $f(a)$가 정의 안 되면 나머지 볼 필요 없다
좌극한만 구하고 우극한 안 구하기
탈출 조건 EXIT
극한 계산이 필요 → 영역 1 (0/0 해결사) 와 협업
문제: $f(x)=\begin{cases}x^2-1&x<1\\k&x=1\\2x&x>1\end{cases}$에서 $f$가 연속이 되도록 $k$를 구하라
① $f(1)=k$ — 정의됨 ✓
② 좌극한: $\lim_{x\to 1^-}(x^2-1)=0$, 우극한: $\lim_{x\to 1^+}2x=2$ → 좌≠우!
→ 극한 자체가 존재하지 않으므로 어떤 $k$로도 연속 불가
진입 조건 TRIGGER
영역 1에서 인수분해/유리화 실패
$\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$
$e^x$, $\ln x$ 등 초월함수 포함
진입 확인 VALIDATION
반드시 $\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$ 형태여야 함
$0\cdot\infty$, $\infty-\infty$면 → 먼저 $\frac{0}{0}$꼴로 변환
장착 도구 TOOLKIT
$\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$
$0\cdot\infty \to \frac{f}{1/g}$ 변환
$\infty-\infty \to$ 통분
$1^\infty, 0^0, \infty^0 \to e^{\lim(\cdot)\ln(\cdot)}$
실행 시퀀스 PROCEDURE
부정형 타입 확인: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$
$0\cdot\infty$ → $\frac{f}{1/g}$로 바꿔서 $\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$로
지수형 ($1^\infty$ 등) → $\ln$ 씌워서 $e^{\lim}$ 처리
분자 미분, 분모 미분. (전체를 미분하는 게 아닙니다!)
미분 후 대입. 값이 나오면 끝.
여전히 부정형 → 로피탈 한 번 더 (반복 가능)
금지 행동 ANTI-PATTERN
몫의 법칙으로 미분하기 — 분자·분모를 따로따로 미분한다
부정형이 아닌데 로피탈 쓰기 — 답이 완전히 틀어진다
무한 반복 — 2~3회 해도 안 풀리면 접근법을 바꿔라
탈출 조건 EXIT
미분이 더 복잡해지면 → 인수분해/치환으로 돌아가기 (영역 1 )
문제: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$
① 대입: $\frac{1-1-0}{0}=\frac{0}{0}$ ✓
② 1차 로피탈: $\frac{e^x-1}{2x}$ → 대입: $\frac{0}{0}$ 아직 부정형
③ 2차 로피탈: $\frac{e^x}{2}$ → 대입: $\frac{1}{2}$ → $\boxed{\frac{1}{2}}$
진입 조건 TRIGGER
"미분의 정의를 이용하여"
$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 패턴
"미분 가능성을 판별하라"
장착 도구 TOOLKIT
$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
좌미분 = 우미분 ↔ 미분 가능
실행 시퀀스 PROCEDURE
$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$를 세웁니다. $f(a+h)$를 전개.
미분 가능성 문제면: 좌미분 $\lim_{h\to 0^-}$와 우미분 $\lim_{h\to 0^+}$ 비교.
금지 행동 ANTI-PATTERN
"정의를 이용하여"인데 미분 공식 바로 쓰기 — 0점이다
$f(a+h)$ 전개할 때 $h$를 빼먹기
탈출 조건 EXIT
"구하라" (정의 언급 없음) → 미분 공식 바로 써도 됨 (영역 7 )
문제: 미분의 정의로 $f(x)=x^3$의 $f'(2)$를 구하라
① $\frac{(2+h)^3-8}{h}=\frac{8+12h+6h^2+h^3-8}{h}$
② $=\frac{12h+6h^2+h^3}{h}=12+6h+h^2$
③ $\lim_{h\to 0}(12+6h+h^2)=\boxed{12}$
PART 1 (계속) — 미분 영역 7~10
진입 조건 TRIGGER
함수 안에 함수가 있습니다: $f(g(x))$
$\sin(x^3)$, $e^{2x+1}$, $\ln(\cos x)$
합성이 3겹 이상: $e^{\sin(x^2)}$
장착 도구 TOOLKIT
$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$
"바깥 미분 × 안쪽 미분"
3겹이면: 바깥 × 중간 × 안쪽
실행 시퀀스 PROCEDURE
$\times$ 안쪽 함수의 미분. 안쪽도 합성이면 반복.
금지 행동 ANTI-PATTERN
안쪽 미분(× $g'(x)$) 빼먹기 — 시험 최다 실수 1위
$\sin^2 x$를 $\sin(x^2)$로 읽기 — 전혀 다른 함수다
탈출 조건 EXIT
합성이 아닌 곱셈 $f(x)\cdot g(x)$ → 영역 8 (곱의 법칙)
문제: $y=e^{\sin(x^2)}$을 미분하라
① 3겹: 바깥=$e^{(\cdot)}$, 중간=$\sin(\cdot)$, 안쪽=$x^2$
② 바깥 미분: $e^{\sin(x^2)}$
③ × 중간 미분: $\cos(x^2)$
④ × 안쪽 미분: $2x$
→ $y'=\boxed{2x\cos(x^2)\,e^{\sin(x^2)}}$
진입 조건 TRIGGER
$y=f(x)$로 정리 불가 (양변에 $x$, $y$ 혼재)
$x^2+y^2=25$, $xy+\sin y=1$ 등
"$\frac{dy}{dx}$를 구하라" + 양변 등식
장착 도구 TOOLKIT
양변을 $x$로 미분
$y$ 미분 시 $\frac{dy}{dx}$ 붙이기
곱의 법칙 (영역 8 협업)
연쇄법칙 (영역 7 협업)
실행 시퀀스 PROCEDURE
양변을 $\frac{d}{dx}$로 미분. $y$가 나타날 때마다 뒤에 $\frac{dy}{dx}$ 곱합니다.
$\frac{dy}{dx}$가 포함된 항을 좌변으로, 나머지를 우변으로.
$\frac{dy}{dx}$를 인수로 묶고, 나누기.
특정 점에서 값 구하기: $x$, $y$ 좌표 대입.
금지 행동 ANTI-PATTERN
$y$를 미분할 때 $\frac{dy}{dx}$ 안 붙이기 — 유령을 놓치면 답이 틀린다
$xy$ 항에서 곱의 법칙 안 쓰기
탈출 조건 EXIT
$y$를 $x$로 정리 가능 → 그냥 양함수 미분 (영역 7 )
문제: $x^2+y^2=25$에서 $\frac{dy}{dx}$를 구하라
① 양변 미분: $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$
② $2y\frac{dy}{dx}=-2x$
③ $\frac{dy}{dx}=\boxed{-\frac{x}{y}}$
진입 조건 TRIGGER
"…의 변화율을 구하라"
$\frac{dA}{dt}$, $\frac{dV}{dt}$, $\frac{dr}{dt}$ 등 시간 미분
서술형 문제: 사다리, 풍선, 그림자, 수면
장착 도구 TOOLKIT
기하 공식 (원, 구, 삼각형, 피타고라스)
양변 $\frac{d}{dt}$ (음함수 미분 협업)
연쇄법칙: $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$
실행 시퀀스 PROCEDURE
그림을 그립니다. 변수에 이름 붙이기. 변하는 것과 고정된 것 분류.
변수들을 연결하는 등식을 세운다 (기하 공식, 피타고라스 등).
양변을 $t$에 대해 미분. 모든 변수에 $\frac{d(\cdot)}{dt}$ 적용.
"그 순간"의 값들을 대입. 구하는 변화율 계산.
금지 행동 ANTI-PATTERN
미분 전에 숫자 대입 — 상수가 되면 미분하면 0이 된다
변하는 변수를 상수 취급하기
탈출 조건 EXIT
시간($t$) 없이 그냥 $\frac{dy}{dx}$ → 영역 8 (유령 미분)
문제: 반지름이 $\frac{dr}{dt}=3$ cm/s로 커지는 원. $r=10$일 때 넓이 변화율?
① 등식: $A=\pi r^2$
② $t$로 미분: $\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}$
③ 대입: $\frac{dA}{dt}=2\pi(10)(3)=\boxed{60\pi}$ cm²/s
진입 조건 TRIGGER
"근사값", "선형화"
"$\sqrt{4.01}$의 근사값"
$L(x)$, $f(a)+f'(a)(x-a)$
"미분", "dy"
장착 도구 TOOLKIT
$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$
$dy=f'(x)\,dx$
$\Delta y\approx dy$
실행 시퀀스 PROCEDURE
근사할 함수 $f(x)$와 기준점 $a$ (계산 쉬운 근처 값)를 정합니다.
$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$에 대입.
미분 문제면: $dy=f'(x)\,dx$, $\Delta y=f(x+dx)-f(x)$ 비교.
금지 행동 ANTI-PATTERN
기준점 $a$를 계산 어려운 값으로 잡기
$\Delta y$와 $dy$를 혼동하기
탈출 조건 EXIT
정확한 값을 구하라 → 근사가 아닌 직접 계산
문제: $\sqrt{4.01}$의 근사값을 구하라
① $f(x)=\sqrt{x}$, $a=4$ (계산 쉬운 근처 값)
② $f(4)=2$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ → $f'(4)=\frac{1}{4}$
③ $L(4.01)=2+\frac{1}{4}(4.01-4)=2+\frac{0.01}{4}=\boxed{2.0025}$
진입 조건 TRIGGER
$\int f(x)\,dx$ 형태
"부정적분을 구하라"
"역도함수(antiderivative)를 구하라"
장착 도구 TOOLKIT
기본 적분 공식표
$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
삼각함수 적분 공식
$e^x$, $\ln x$ 적분
실행 시퀀스 PROCEDURE
피적분함수를 관찰: 공식표에 바로 있는 형태인가?
있으면 → 공식 적용 후 $+C$ 반드시 붙이기.
없으면 → 대수적 변환(전개, 분리, 약분) 시도.
여전히 안 되면 → 영역 13 (치환 변신) 또는 영역 14 (부분 해체) 로 전환.
금지 행동 ANTI-PATTERN
$+C$ 빼먹기 — 부정적분은 항상 적분상수 필수
$\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^0}{0}$ 시도 — 이건 $\ln|x|+C$이다
탈출 조건 EXIT
정적분이 주어짐 → 영역 12 (리만 조립) 로 전환
합성함수 형태 → 영역 13 (치환 변신) 으로 전환
진입 조건 TRIGGER
$\int_a^b f(x)\,dx$ 형태
"넓이를 구하라"
FTC(미적분학의 기본정리) 적용
장착 도구 TOOLKIT
FTC: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
넓이 = $\int_a^b |f(x)|\,dx$
두 곡선 사이 넓이: $\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$
실행 시퀀스 PROCEDURE
부정적분 $F(x)$를 먼저 구합니다 (영역 11의 절차).
넓이 문제라면: 구간 내 $f(x)=0$인 점을 찾아 구간을 분할합니다.
금지 행동 ANTI-PATTERN
넓이 문제에서 음수 구간을 그냥 적분 — 절대값을 씌워야 합니다
$F(a) - F(b)$ 순서 뒤바꾸기 — 항상 $F(b) - F(a)$
탈출 조건 EXIT
부정적분이 안 구해짐 → 영역 13~15 의 적분 기법으로 전환
적분 구간이 $\infty$ → 영역 18 (무한 탐사) 로 전환
진입 조건 TRIGGER
$f(g(x)) \cdot g'(x)$ 패턴 감지
합성함수의 적분
안쪽 함수의 미분이 바깥에 보임
장착 도구 TOOLKIT
$u = g(x)$로 치환
$du = g'(x)\,dx$
정적분: 적분 구간도 $u$로 변환
실행 시퀀스 PROCEDURE
피적분함수에서 "안쪽 함수" $u = g(x)$를 찾습니다.
$du = g'(x)\,dx$를 계산하고, $dx$를 $du$로 교체.
$x$가 남으면 $u$로 역변환. $x$가 완전히 사라져야 합니다.
$u$에 대해 적분 → 결과를 $x$로 역치환.
금지 행동 ANTI-PATTERN
정적분에서 $u$ 치환 후 $x$ 구간 그대로 쓰기 — 구간도 반드시 변환
$x$가 남은 채로 적분 시도 — 모든 $x$가 $u$로 변해야 합니다
탈출 조건 EXIT
$u$ 치환 후에도 $x$가 안 없어짐 → 영역 15 (변장 풀기) 의 삼각치환 검토
$u\,dv$ 패턴이 보임 → 영역 14 (부분 해체) 로 전환
진입 조건 TRIGGER
서로 다른 종류의 함수의 곱
$\int x\,e^x\,dx$, $\int x\ln x\,dx$ 같은 형태
다항식 × 초월함수
장착 도구 TOOLKIT
$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
LIATE 규칙: $u$ 선택 우선순위
표 적분법 (Tabular Method)
실행 시퀀스 PROCEDURE
LIATE 순서로 $u$를 정합니다: Log → Inverse trig → Algebraic → Trig → Exponential.
나머지를 $dv$로 놓고, $du$와 $v$를 구합니다.
$\int v\,du$가 원래보다 쉬우면 → 계속 적분. 아니면 부분적분 반복 또는 순환 패턴 활용.
금지 행동 ANTI-PATTERN
$u$, $dv$ 선택을 반대로 → 적분이 더 복잡해짐
$\int e^x\sin x\,dx$에서 한 번만 하고 포기 — 두 번 반복하면 순환으로 풀림
탈출 조건 EXIT
두 번 부분적분해도 안 풀림 → 영역 15 (변장 풀기) 의 삼각치환 검토
유리함수 → 부분분수 분해가 먼저
진입 조건 TRIGGER
$\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$, $\sqrt{x^2-a^2}$ 포함
유리함수 $\frac{P(x)}{Q(x)}$에서 $\deg P < \deg Q$
$u$-치환으로 안 풀리는 루트식
장착 도구 TOOLKIT
$\sqrt{a^2-x^2}$ → $x = a\sin\theta$
$\sqrt{a^2+x^2}$ → $x = a\tan\theta$
$\sqrt{x^2-a^2}$ → $x = a\sec\theta$
부분분수: $\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}$
실행 시퀀스 PROCEDURE
삼각치환: 루트 안의 형태를 보고 치환 공식을 선택합니다.
$dx$를 $d\theta$로 변환. 루트가 삼각함수로 깔끔히 사라지는지 확인.
부분분수: 분모를 인수분해. 각 인수에 미지수 $A, B, \ldots$를 배정.
$A, B, \ldots$를 구한 후 각각 적분 ($\ln$, $\arctan$ 등).
금지 행동 ANTI-PATTERN
삼각치환 후 $\theta$를 $x$로 역치환 안 하기
부분분수에서 분자 차수 ≥ 분모 차수인데 바로 분해 시도 — 다항식 나눗셈 먼저
탈출 조건 EXIT
삼각치환 후 $\sin^m\theta\cos^n\theta$ 적분 → 반각 공식 또는 치환
기약 이차식 분모 → $\arctan$ 패턴으로 귀결
진입 조건 TRIGGER
"회전시킨 부피를 구하라"
$x$축 / $y$축 둘레로 회전
회전축이 $y=k$ 또는 $x=k$
장착 도구 TOOLKIT
디스크: $V = \pi\int_a^b [R(x)]^2\,dx$
와셔: $V = \pi\int_a^b \bigl([R(x)]^2-[r(x)]^2\bigr)\,dx$
회전축이 직선 $y=k$일 때: 반지름 재조정
실행 시퀀스 PROCEDURE
회전축에 수직인 슬라이스 를 잡아 단면을 확인: 디스크인가 와셔인가?
바깥 반지름 $R$과 안쪽 반지름 $r$을 회전축 기준으로 설정.
적분 구간 확인 후 $\pi\int [R^2-r^2]\,dx$ (또는 $dy$)를 계산.
금지 행동 ANTI-PATTERN
회전축이 $y=2$인데 반지름을 $f(x)$로 잡기 — $(2-f(x))$ 또는 $(f(x)-2)$
디스크/와셔와 쉘 방법을 혼동하기
탈출 조건 EXIT
$x$로 표현하기 어려운 경우 → $y$에 대해 적분 또는 영역 17 (원통 감기) 검토
슬라이스가 회전축과 평행 → 쉘 방법이 더 편리
진입 조건 TRIGGER
회전체 부피이나 디스크/와셔가 복잡
$y$축 둘레 회전인데 $y=f(x)$가 역함수로 풀기 어려움
회전축에 평행한 슬라이스가 자연스러움
장착 도구 TOOLKIT
$V = 2\pi\int_a^b (\text{반지름})(\text{높이})\,dx$
$y$축 회전: 반지름$=x$, 높이$=f(x)$
$x=k$ 회전: 반지름$=|x-k|$
실행 시퀀스 PROCEDURE
회전축에 평행한 슬라이스 (원통 껍질)를 잡습니다.
높이 = 슬라이스의 길이 (위 함수 − 아래 함수).
$2\pi\int (\text{반지름})(\text{높이})\,dx$를 계산합니다.
금지 행동 ANTI-PATTERN
$2\pi$ 빼먹기 — 원통의 둘레($2\pi r$)에서 온다
반지름을 $x$ 자체로 잡아야 하는데 $f(x)$로 잡기
탈출 조건 EXIT
두 곡선 사이 영역 → 높이 = $f(x)-g(x)$로 조정
적분이 복잡해지면 → 디스크/와셔(영역 16 )로 전환 검토
진입 조건 TRIGGER
적분 구간에 $\infty$ 또는 $-\infty$
피적분함수가 구간 내 불연속
"수렴/발산을 판정하라"
장착 도구 TOOLKIT
Type I: $\int_a^\infty f\,dx = \lim_{t\to\infty}\int_a^t f\,dx$
Type II: $\int_a^b f\,dx = \lim_{t\to a^+}\int_t^b f\,dx$
$p$-검정: $\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx$ → $p>1$ 수렴
비교판정법: $0\le f\le g$이면 $g$ 수렴 → $f$ 수렴
실행 시퀀스 PROCEDURE
Type I인지 Type II인지 분류 (무한 구간 vs 불연속점).
$\infty$를 $t$로 대체하고 정적분 계산.
$\lim_{t\to\infty}$ (또는 불연속점으로의 극한) 취합니다.
금지 행동 ANTI-PATTERN
$\infty$를 직접 대입하기 — 반드시 $\lim$으로 처리
구간 내 불연속점을 무시하고 FTC 적용 — 불연속점에서 분할 필수
탈출 조건 EXIT
직접 적분이 어려우면 → 비교판정법으로 수렴/발산만 판정
양쪽 무한 $\int_{-\infty}^{\infty}$ → 임의의 점 $c$에서 분할 후 각각 검사
① 0/0 해결사
→
⑤ 로피탈 고속도로 인수분해·유리화 실패 시
① 0/0 해결사
→
② 샌드위치 포위전 삼각함수 진동이 보일 때
② 샌드위치
→
① 0/0 해결사 양쪽 극한이 다를 때
④ 연속성 심판
→
① 0/0 해결사 극한 계산이 필요할 때
⑤ 로피탈
→
① 0/0 해결사 미분이 더 복잡해질 때
⑦ 껍질 벗기기
→
⑧ 유령 미분 $y=f(x)$로 정리 불가 시
⑧ 유령 미분
→
⑦ 껍질 벗기기 양변 미분 시 연쇄법칙 필요
⑨ 연결고리 사냥
→
⑧ 유령 미분 $t$로 양변 미분 = 음함수 미분의 변형
⑩ 줌인 근사
→
⑦ 껍질 벗기기 $f'(a)$ 구할 때 연쇄법칙 필요
⑪ 역추적
→
⑬ 치환 변신 합성함수 형태일 때
⑪ 역추적
→
⑭ 부분 해체 서로 다른 함수의 곱일 때
⑬ 치환 변신
→
⑮ 변장 풀기 $u$-치환으로 $x$가 안 없어질 때
⑭ 부분 해체
→
⑮ 변장 풀기 유리함수가 남을 때 → 부분분수
⑫ 리만 조립
→
⑱ 무한 탐사 적분 구간이 $\infty$일 때
⑯ 회전 용광로
↔
⑰ 원통 감기 디스크가 복잡하면 쉘, 쉘이 복잡하면 디스크
문제를 읽고 30초 안에 다음을 판단합니다:
1. $\lim$이 있는가? → 영역 1~5 중 택1
2. $\frac{d}{dx}$를 구하는가? → 영역 6~8 중 택1
3. $\frac{d}{dt}$ + 서술형? → 영역 9
4. 근사, $L(x)$, $dy$? → 영역 10
5. $\int$이 있는가? → 영역 11~15 중 택1
6. 회전체 부피? → 영역 16 또는 17
7. $\int_a^\infty$ 또는 불연속? → 영역 18
8. 증명 + $\epsilon$? → 영역 3
영역을 정했으면 절대 중간에 헤매지 마라. 그 영역의 절차를 끝까지 따라갑니다. 막히면 전환 맵을 봅니다.